Cómo demostrar que [matemática] S = T_ {1} [/ matemática] y [matemática] SS_ {1} = T ^ {2} [/ matemática] para cualquier sección cónica expresada en forma estándar

Estoy un poco atascado en cuanto a cómo avanzar en este caso. Primero, el enunciado del problema nos pide que demostremos [matemática] S = T_1 [/ matemática] pero [matemática] T_1 [/ matemática] nunca se define, por lo que esta parte es difícil de abordar.

La cónica podría estar representada por [matemática] ax ^ 2 + por ^ 2 + c = 0 [/ matemática] así que [matemática] S = ax ^ 2 + por ^ 2 + c [/ matemática]. Por ejemplo, el círculo unitario centrado en el origen tendrá [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = 1 [/ matemática] y [matemática] c = -1 [/ matemática]. La tangente en [math] (x_1, y_1) [/ math] se le dará [math] ax_1x + by_1y + c = 0 [/ math] entonces [math] T = ax_1x + by_1y + c [/ math]. Y [matemáticas] S_1 = ax_1 ^ 2 + por_1 ^ 2 + c [/ matemáticas]. Pero aquí es donde me quedo un poco atascado. Presumiblemente [matemática] S [/ matemática], [matemática] SS_1 [/ matemática], [matemática] T [/ matemática] y [matemática] T ^ 2 [/ matemática] deben entenderse como polinomios en [matemática] x [/ math] y [math] y [/ math]. Pero [math] T ^ 2 [/ math], en general, tiene un término [math] xy [/ math] distinto de cero, mientras que [math] SS_1 [/ math] no lo tiene, por lo que en realidad no sigue eso [ matemáticas] SS_1 = T ^ 2 [/ matemáticas].

Nuevamente, me falta algo en mi comprensión del problema y espero que otros puedan ayudarnos a entenderlo mejor.

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Deje que la ecuación de la cónica sea
[matemáticas] S = ax ^ 2 + 2hxy + por ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemáticas]

Diferenciando ambos lados wrt a x obtenemos
[matemática] 2ax + 2h (x \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} + y) + 2by \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} + [/ math] [matemática] 2g + 2f \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = – \ frac {hy + ax + g} {hx + by + f} [/ math]

La ecuación de la tangente en [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] viene dada por
[matemáticas] y-y_1 = \ left. \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} \ right | _ {(x_1, y_1)} (x-x_1) [/ math]

Por lo tanto
[matemáticas] (y-y_1) = – \ frac {hy_1 + ax_1 + g} {hx_1 + by_1 + f} (x-x_1) [/ math]

[matemáticas] hx_1y + byy_1 + fy -hx_1y_1- by_1 ^ 2- fy_1 = [/ math] [math] -hxy_1 -axx_1-gx + hx_1y_1 + ax_1 ^ 2 + gx_1 [/ math]

[matemática] ax_1 ^ 2 + 2hx_1y_1 + por_1 ^ 2 + gx_1 + fy_1 = [/ matemática] [matemática] axx_1 + byy_1 + h (xy_1 + x_1y) + gx + fy [/ matemática]

Al agregar [matemática] gx_1 + fy_1 + c [/ matemática] a cada lado, la ecuación se puede expresar en la forma familiar [matemática] S_1 = T [/ matemática]
Como [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] se encuentra en [matemáticas] S = 0 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] S_1 = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, la ecuación de la tangente es [matemática] T = 0 [/ matemática]

Las otras fórmulas tienen derivaciones similares.

Aadi Jain

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