Cómo transformar [math] u_i = \ dfrac {x_i} {\ sum x_j} [/ math] para obtener cero cuando [math] x = 0 [/ math], [math] x \ in \ mathbb {R} ^ n [/matemáticas]

Answer 1

Primero me gustaría comprobar que no quiso decir [math] u_i = \ frac {x_i} {\ sqrt {\ sum x_j ^ 2}} [/ math] que encuentra vectores de longitud unitaria.

Ahora [math] \ sum u_i = \ frac {\ sum x_i} {\ sum x_j} = 1 [/ math] entonces el vector [math] \ vec {u} [/ math] se encuentra en el plano P: [math] \ vec {u} \ cdot (1,1, \ ldots, 1) = 1 [/ math].

Ahora [math] \ vec u = \ alpha \ vec x [/ math] donde [math] \ alpha = \ frac {1} {\ sum x_j} [/ math]. En efecto, la transformación es una proyección central desde el origen en el plano P. Visto de esta manera, está claro que no hay una imagen natural bajo la proyección para el origen. No hay forma de que pueda elegir una imagen para el origen que no rompa la continuidad.

Hay algunos posibles candidatos para la imagen del origen, podría, como dice Alexander Farrugia, simplemente convertirlo en el origen. Esto tiene la desventaja de que la imagen no está en el mismo plano que todos los demás puntos. Puede tomar el punto más cercano en P [matemáticas] \ frac {1} {n} (1,1, \ ldots, 1) [/ matemáticas], o puede elegir un punto en el infinito.

Answer 2

En primer lugar, supongo que las entradas de [matemáticas] x [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] x_1 [/ matemáticas] hasta [matemáticas] x_n [/ matemáticas]. Si esta suposición es incorrecta, aclare qué es [math] x [/ math].

Este problema se resuelve diciendo que [matemática] u_i = 0 [/ matemática] si [matemática] x_i = 0 [/ matemática] y [matemática] u_i [/ ​​matemática] es igual a su fórmula.

El verdadero problema que estoy imaginando es qué hacer cuando [math] \ sum x_j = 0 [/ math] y [math] x_i \ ne 0 [/ math]. Por ejemplo, si [math] x = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 & -1 \ end {pmatrix} ^ T [/ math], entonces su fórmula, como está escrita, tendría [math] u_1 [ / math] y [math] u_n [/ math] no están definidos.