Dado que: [matemática] 2 ^ {10} = 1024 [/ matemática] y [matemática] 3 ^ {10} = 59049 [/ matemática] ¿Cómo puedo calcular el valor de A = 1 + [matemática] (3 ^ { 1} -2 ^ {1}) [/ matemáticas] + [matemáticas] (3 ^ {2} -2 ^ {2}) [/ matemáticas] + [matemáticas] (3 ^ {3} -2 ^ {3} ) [/ matemáticas] [matemáticas] +… + [/ matemáticas] [matemáticas] (3 ^ {9} -2 ^ {9}) [/ matemáticas]?

Answer 1

En primer lugar, supongo que querías decir

[matemáticas] 2 ^ {10} = 1024 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] 3 ^ {10} = 59049 [/ matemáticas]

Queremos encontrar la suma de

[matemáticas] 1 + (3 ^ {1} – 2 ^ {1}) + (3 ^ {2} – 2 ^ {2}) + \ dots + (3 ^ {9} – 2 ^ {9}) [ /matemáticas]

Podemos reescribir esto como

[matemáticas] 1 + \ sum_ {k = 1} ^ {9} (3 ^ {k} – 2 ^ {k}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + \ sum_ {k = 1} ^ {9} 3 ^ {k} – \ sum_ {k = 1} ^ {9} 2 ^ {k} [/ matemáticas]

Ahora sabemos que para una serie geométrica finita,

[matemáticas] a + ar + a {r} ^ {2} + \ dots + a {r} ^ {n-1} = a \ frac {1-r ^ {n}} {1-r} [/ math ]

Entonces

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {9} 3 ^ {k} = 3 \ frac {1-3 ^ {9}} {1-3} = \ frac {3-3 ^ {10}} { 1-3} = 29523 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {9} 2 ^ {k} = 2 \ frac {1-2 ^ {9}} {1-2} = \ frac {2-2 ^ {10}} { 1-2} = 1022 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] 1 + (3 ^ {1} – 2 ^ {1}) + (3 ^ {2} – 2 ^ {2}) + \ dots + (3 ^ {9} – 2 ^ {9}) [ /matemáticas]
[matemáticas] = 1 + 29523 – 1022 = 28502 [/ matemáticas]

Answer 2

En la suma tenemos los límites 1 y 9.

Aquí [matemáticas] 1 + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {9} 3 ^ n – 2 ^ n = A = 1 + \ sum_ {n = 1} ^ {9} 3 ^ n – \ sum_ {n = 1} ^ {9} 2 ^ n. [/ Matemáticas]

Sabemos que [math] \ frac {a-ar ^ n} {1-r} = a_n. [/ Math]

Por lo tanto, [matemática] A = \ frac {3 ({1-2 ^ 9})} {1-3} [/ matemática] [matemática] – \ frac {2 ({1-2 ^ 9})} {1- 2} +1 = 28502 [/ matemáticas]

Answer 3

2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4… 2 ^ n = [2 ^ (n + 1)] – 2
3 ^ 1 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4… 3 ^ n = {[3 ^ (n + 1)] – 3} / 2 (no dude en consultar esto)

entonces
qn es
A = 1 + (3 ^ 1 – 2 ^ 1) + (3 ^ 2 – 2 ^ 2) + (3 ^ 3 – 2 ^ 3)… (3 ^ 9 – 2 ^ 9)

reorganizar los términos

A = 1 + (3 ^ 1 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3… 3 ^ 9) – (2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3… 2 ^ 9)

reemplazando los valores de suma ” n ‘por 9

A = 1 + ({[3 ^ (n + 1)] – 3} / 2) – ([2 ^ (n + 1)] – 2) reemplaza n por 9

A = 1 + ({[3 ^ (9 + 1)] – 3} / 2) – ([2 ^ (9 + 1)] – 2)

A = 1 + ({[3 ^ (10)] – 3} / 2) – ([2 ^ (10)] – 2)

A = 1 + [(59049-3) / 2] – (1024-2)

A = 1 + 59046/2 – 1024 + 2

A = 1 + 29523-1022

A = 28502

Answer 4

Esta es la diferencia de dos progresiones geométricas.

El primero tiene el primer término 1, relación común 3 y el último término 3 ^ 9.

Su suma es (3 ^ 10 – 1) / (3 – 1) = 59048/2 = 29524

El segundo tiene el primer término 2, la razón común 2 y el último término2 ^ 9.

Su suma es 2 * (2 ^ 9 – 1) / (2 – 1) = 1022

Entonces la suma indicada es su diferencia, 28502.

Answer 5

Intente usar la fórmula para la progresión geométrica por separado en las dos series.