Tenemos que encontrar un segmento de línea paralelo al plano [matemático] 4x + 12y-3z = -1 [/ matemático], uno de cuyos puntos finales (digamos [matemático] A [/ matemático]) es [matemático] (- 2,3, -4) [/ math] y otro (digamos [math] B [/ math]) se encuentra en la línea recta
[matemáticas] \ frac {x + 2} {3} = \ frac {2y + 3} {4} = \ frac {3z + 4} {5} [/ matemáticas].
Luego, para algunas [matemáticas] t [/ matemáticas] reales, las coordenadas de [matemáticas] B [/ matemáticas] pueden escribirse como [matemáticas] (3t-2,2t-3/2, \ frac {5t-4} { 3}) [/ matemáticas].
Por lo tanto, las relaciones de dirección de la línea [math] AB [/ math] están dadas por [math] (3t, 2t-9/2, \ frac {5t + 8} {3}) [/ math]. Además, las relaciones de dirección de lo normal al plano están dadas por [math] (4,12, -3) [/ math].
Por lo tanto, a partir de la condición de paralelismo, tenemos [matemáticas] 4 (3t) + 12 (2t-9/2) – (5t + 8) = 0 [/ matemáticas], de donde tenemos, [matemáticas] t = 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, las coordenadas de [matemáticas] B [/ matemáticas] son [matemáticas] (4,2.5,2) [/ matemáticas]. Por lo tanto, la distancia requerida es [matemática] | AB | = 8.5 [/ matemática].
¿Cuál es la distancia de un punto [matemáticas] (- 2,3, -4) [/ matemáticas] de la línea [matemáticas] \ frac {x + 2} {3} = \ frac {2y + 3} {4} = \ frac {3z + 4} {5} [/ matemática] medida paralela al plano [matemática] 4x + 12y-3z + 1 = 0? [/ matemática]
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Considere el punto paramétrico [matemático] \ left (3t-2, 2t- \ frac32, \ frac53t- \ frac43 \ right) [/ math] en la línea dada: [math] \ frac {x + 2} {3} = \ frac {2y + 3} {4} = \ frac {3z + 4} {5} [/ math] de modo que la línea recta (vector) que une el punto dado [math] (- 2, 3, -4) [ / math] a [math] \ left (3t-2, 2t- \ frac32, \ frac53t- \ frac43 \ right) [/ math] es paralelo al plano dado: [math] 4x + 12y-3z + 1 = 0 [ /matemáticas]
por lo tanto, el vector que une los puntos, es decir, [matemáticas] \ izquierda (3t-2 – (- 2), 2t- \ frac32-3, \ frac53t- \ frac43 – (- 4) \ derecha) [/ matemáticas] o [matemáticas] \ izquierda (3t, 2t- \ frac92, \ frac53t + \ frac83 \ right) [/ math] debe ser perpendicular al vector normal: [math] (4, 12, -3) [/ math] del plano, por lo tanto, su producto de punto debe ser cero, así obtenemos
[matemáticas] \ left (3t \ hat {i} + \ left (2t- \ frac92 \ right) \ hat {j} + \ left (\ frac53t + \ frac83 \ right) \ hat {k} \ right) \ cdot ( 4 \ hat {i} +12 \ hat {j} -3 \ hat {k}) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 12t + 24t-54-5t-8 = 0 \ implica t = 2 [/ matemáticas]
sustituyendo [math] t = 2 [/ math], el punto en cuestión en la línea recta dada es [math] \ left (3 \ cdot 2-2, 2 \ cdot2- \ frac32, \ frac53 \ cdot- \ frac43 \ right ) \ equiv \ left (4, \ frac52, 2 \ right) [/ math]
de ahí la distancia del punto dado [matemática] \ izquierda (-2,3, -4 \ derecha) [/ matemática] desde el punto [matemática] \ izquierda (4, \ frac52, 2 \ derecha) [/ matemática] en la línea dada medido en paralelo al plano: [matemática] 4x + 12y-4z + 1 = 0 [/ matemática] es
[matemáticas] = \ sqrt {(- 2-4) ^ 2 + (3-5 / 2) ^ 2 + (- 4-2) ^ 2} = \ sqrt {\ frac {289} {4}} = \ frac {17} {2} = 8.5 [/ matemáticas]
Representemos un punto P2 en la línea recta dada como
[matemáticas] (r- \ frac {2} {3}, \ frac {r} {2} – \ frac {3} {8}, \ frac {r} {3} – \ frac {4} {15} )[/matemáticas]
Ahora imagine otra línea recta S1 a través del punto P1 = (- 2, 3, -4) y el punto desconocido P2 de modo que S1 sea paralelo a su plano [matemática] 4x + 12y-3z = 1 [/ matemática]
Ahora veamos si podemos encontrar P2 a partir de la condición de paralelismo. A partir de la condición, todos los puntos en S1 tienen el mismo valor para [matemática] 4x + 12y-3z [/ matemática]
Entonces
[matemáticas] 4 (r- \ frac {2} {3}) + 12 (\ frac {r} {2} – \ frac {3} {8}) -3 (\ frac {r} {3} – \ frac {4} {15}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4 \ veces (-2) +12 \ veces3 + 3 \ veces4 [/ matemáticas]
Es fácil calcular que [matemática] r = \ frac {1391} {270} [/ matemática]. Por lo tanto, podemos calcular la coordenada de P2 como [matemáticas] (\ frac {1211} {270}, \ frac {2377} {1080}, \ frac {235} {162}) [/ matemáticas]
Entonces, la distancia entre P1 y P2 según la fórmula estándar de la norma euclidiana es de 8.5 unidades.
Verifique la aritmética y corríjala si estoy equivocado.
PD
Alguien ajustó los paréntesis, por lo tanto, equivoqué mi respuesta. Cuando respondí, la línea recta fue dada como
[matemáticas] x + \ frac {2} {3} = 2y + \ frac {3} {4} = 3z + \ frac {4} {5} [/ matemáticas]
Esa ecuación es de un plano, no de una línea, en R3 las ecuaciones paramétricas o las ecuaciones vectoriales se usan típicamente para describir líneas, en tres espacios las funciones “normales” son superficies