¿Cuál es el valor de verdad de [math] \ exist x \ forall y (x \ leq y ^ 2) [/ math] si el dominio para [math] x [/ math] y [math] y [/ math] es ( a) números reales positivos (b) enteros (c) números reales distintos de cero?

a) ¿Cuál es el valor de verdad de [math] \ exist x \ in \ mathbb {R} ^ +, \ forall y \ in \ mathbb {R} ^ +, x \ leq y ^ 2 [/ math]?

Tomemos [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Deje que [math] y [/ math] sea un número positivo real. Entonces [math] y ^ 2 \ geq 0 = x [/ math], demostrando así el valor de verdad de esta proposición.

b) ¿Cuál es el valor de verdad de [math] \ exist x \ in \ mathbb {Z}, \ forall y \ in \ mathbb {Z}, x \ leq y ^ 2 [/ math]?

Tomemos [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Deje que [math] y [/ math] sea un número entero. Entonces [math] y ^ 2 \ geq 0 = x [/ math], demostrando así el valor de verdad de esta proposición.

c) ¿Cuál es el valor de verdad de [matemáticas] \ existe x \ in \ mathbb {R} ^ *, \ forall y \ in \ mathbb {R} ^ *, x \ leq y ^ 2 [/ math]?

Tomemos [math] x = -1 \ in \ mathbb {R} ^ * [/ math]. Sea [math] y [/ math] un número real distinto de cero. Entonces [math] y ^ 2 \ geq 0 \ geq x [/ math], demostrando así el valor de verdad de esta proposición.

Una nota final: la proposición no es cierta para [matemática] x, y [/ matemática] números reales positivos distintos de cero, como para cualquier [matemática] x [/ matemática], puede encontrar [matemática] y = \ frac {x} {2} [/ math] tal como la proposición es falsa (como dijo Shai).

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Debes entender lo que dice esa expresión. En palabras simples, dice “existe un número [matemática] x [/ matemática] para que para cualquier número [matemática] y [/ matemática] tengamos [matemática] x \ leq y ^ 2 [/ matemática]. Su ejemplo de [matemática] x = 5 [/ matemática] y [matemática] y = 2 [/ matemática] solo muestra que [matemática] x = 5 [/ matemática] no funciona, pero la pregunta es si hay algún valor de [matemática] ] x [/ math] que funciona, por lo que solo necesitas encontrar uno.

¿Hay algún número en esos dominios que se te ocurra que sea menor o igual que cualquier otro número al cuadrado? ¿Puedes encontrar el número más pequeño en cualquiera de esos dominios?

Henning Breede

Convirtiendo notación mumbo jumbo de aspecto elegante al inglés …

¿Existe un número real positivo x, tal que x sea menor o igual a 2y, para todos los números reales positivos y?

No. Cualquiera que sea la x que elija, cualquier número real y menor que x / 2 nos da 2y, que es menor que x.

¿Hay un número entero x, tal que x es menor o igual a 2y, para todos los enteros y?

Dejado para ti …

¿Existe un número real x distinto de cero, tal que x sea menor o igual a 2y, para todos los números reales distintos de cero y?

Dejado para ti …

Romain Mondon-Cancel

Para números reales positivos está mal. Como [matemáticas] (\ frac {\ sqrt {a}} {2}) ^ 2

Debes descubrir por qué eso refuta la afirmación.

El resto es cierto al elegir [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

Romain Mondon-Cancel

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Los matemáticos pensaron que no podíamos definir la raíz cuadrada de un número negativo, porque ningún número real podría hacer eso. Pero nos dimos cuenta de que es muy útil y lo definimos como [math] i = \ sqrt {-1} [/ math]. Entonces [math] \ sqrt {-2} = i \ sqrt {2} [/ math] y así sucesivamente. En matemáticas, ¿por qué no podemos definir otras formas indeterminadas como [math] \ log (0) [/ math]?

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