Gracias por A2A. Esta relación es simple.
Si [math] D [/ math] es una matriz diagonal, para la multiplicación por [math] D [/ math], [math] x \ mapsto D \ cdot x [/ math] tiene
[matemáticas] D \ cdot e_ {i} = \ lambda_i e_i [/ matemáticas], donde
[matemática] (e_i) _ {i = 1, \ ldots n} [/ matemática] es la base canónica ([matemática] e_ {i} [/ matemática] tiene [matemática] i [/ matemática] coordenada igual a 1 , el resto son [matemáticas] 0 [/ matemáticas] s). Esto significa, por definición, que [math] e_ {i} [/ math] es un vector propio correspondiente al valor propio [math] \ lambda_i [/ math].
Ahora suponga que hay una base de [math] \ mathbf {K} ^ {n} [/ math] que consiste en vectores propios [math] (f_i) _ {i = 1, \ ldots n} [/ math] de algunos matriz [matemática] A [/ matemática] de modo que contenga [matemática] Af_i = \ lambda_i f_i. [/ matemática]
¿Cuál es la matriz de [matemáticas] A [/ matemáticas] en la base [matemáticas] (f_i) _ {i = 1, \ ldots n} [/ matemáticas]? Por definición, es exactamente [matemática] D [/ matemática].
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Significa que cuando uno pasa de la base canónica a la base que consiste en vectores propios de [matemáticas] A [/ matemáticas], [matemáticas] A [/ matemáticas] se transforma en [matemáticas] D [/ matemáticas].
Si escribo un vector propio de [math] A [/ math] en columnas de la matriz [math] U [/ math] entonces [math] U [/ math] hace de coordenadas escritas en una base que consiste en coordenadas de vector propio en el canónico base.
Así obtenemos [matemáticas] D = U ^ {- 1} AU. [/ Matemáticas]
No todas las matrices son diagonalizables. Básicamente hay dos razones para ello.
1) Los valores propios de [math] A [/ math] no se encuentran en el campo [math] \ mathbf {K} [/ math]. Por ejemplo, una matriz con valores propios complejos (es decir, no reales) no es diagonalizable sobre [math] \ mathbf {R}. [/ Math]
2) Todavía no hay suficientes vectores propios para formar una base de [math] \ mathbf {K} ^ {n} [/ math] aunque los valores propios se encuentran en [math] \ mathbf {K} [/ math]. Puede que solo suceda (pero no es necesario) si [math] A [/ math] tiene valores propios repetidos.
Por ejemplo, [math] \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] tiene el único vector propio hasta un factor constante.