¿Cuál es una explicación intuitiva del producto exterior de los espacios vectoriales?

Answer 1

Creo que te refieres al producto exterior de los vectores y al álgebra exterior de un espacio vectorial.

Dado un espacio vectorial, siempre hay un álgebra asociativa natural que contiene el espacio vectorial. Por lo general, se llama álgebra exterior o, a veces, álgebra de Grassmann. El punto clave sobre el álgebra exterior es que el cuadrado, debajo del producto exterior, de cualquier vector en el espacio vectorial da cero.

Como se puede seguir multiplicando vectores independientes en el espacio hasta el número máximo posible, se termina con un conjunto de productos alternos que incluyen más y más vectores en el álgebra. Todo el álgebra exterior se define como una suma directa de todos estos productos, como módulos, y el producto exterior se alterna por construcción: es lo que se llama álgebra graduada.

Los elementos del álgebra exterior, los productos de los vectores en el álgebra, no son, por supuesto, vectores, por eso se llama un producto exterior en primer lugar. El producto de dos vectores es un bivector, y así sucesivamente.

Suena complicado pero, de hecho, los productos exteriores de diferentes números de vectores resultan tener una interpretación geométrica muy natural si el espacio vectorial es el espacio euclidiano familiar. En el plano cartesiano bidimensional, el producto exterior de dos vectores corresponde al área con signo del paralelogramo que forman los vectores. Estaría dado por el determinante de la matriz formada por los componentes de los dos vectores, multiplicada por un bivector formado por el producto exterior de los dos vectores de base de unidades ortogonales en el plano. Por construcción, el determinante es una forma alterna.

El producto exterior de tres vectores se desvanece para el caso del plano bidimensional, pero en tres dimensiones da el volumen del paralelopípedo, formado por los tres vectores, junto con su orientación. Tal interpretación continúa hasta la dimensión máxima posible del producto, que es la misma que la del espacio vectorial. Por lo tanto, existe una serie muy natural de productos alternos que se construyen de esta manera, que son interpretables como generalizaciones de áreas y volúmenes de dimensiones superiores.

El álgebra exterior tiene muchas otras propiedades muy bonitas en el caso euclidiano.

Answer 2

Comience con un espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] sobre un campo [matemática] F. [/ matemática] Por ejemplo, tome 3 espacios [matemática] \ mathbf R ^ 3 [/ matemática] sobre el campo real números [matemáticas] \ mathbf R. [/ matemáticas]

Para los vectores [math] \ mathbf v_1, \ ldots, \ mathbf v_k [/ math] en [math] V, [/ math] con [math] k \ geq1 [/ math] crea un símbolo formal, llamado producto de cuña de vectores

[math] \ mathbf v_1 \ wedge \ ldots \ wedge \ mathbf v_k [/ math]

sujeto a las condiciones en que el producto de cuña es asociativo, lineal en cada uno de sus argumentos y anticomutativo.

Cuando [math] k = 1, [/ math] identifica [math] \ mathbf v_1 [/ math] con el vector [math] \ mathbf v_1 [/ math] en [math] V. [/ Math]

La asociatividad es la misma condición de siempre. Lineal en el primer argumento significa que

[matemáticas] (c_1 \ mathbf v_1 + c_2 \ mathbf v_2) \ wedge \ mathbf v_3 = c_1 (\ mathbf v_1 \ wedge \ mathbf v_3) + c_2 (\ mathbf v_2 \ wedge \ mathbf v_3) [/ math]

Sin el requisito adicional de que la cuña sea anticomutativa, lo que hemos descrito hasta ahora es un producto tensorial, pero requerimos además que

[math] \ mathbf v_1 \ wedge \ mathbf v_2 = – \ mathbf v_2 \ wedge \ mathbf v_1 [/ math]

Tenga en cuenta que este requisito de anticommutatividad implica que

[math] \ mathbf v \ wedge \ mathbf v = \ mathbf 0 [/ math]

para cada vector [math] \ mathbf v. [/ math]

La colección de todos estos productos de cuña de vectores forma lo que se llama álgebra exterior [matemáticas] \ Lambda (V). [/ Matemáticas] Es un espacio vectorial sobre el campo [matemáticas] F. [/ Matemáticas] Si la dimensión de [matemática] V [/ matemática] es [matemática] n, [/ matemática] entonces la dimensión de [matemática] \ Lambda (V) [/ matemática] es [matemática] 2 ^ n. [/ matemática]

En nuestro ejemplo [math] V = \ mathbf R ^ 3, [/ math] puede mostrar que cada 4 wedge [math] \ mathbf v_1 \ wedge \ mathbf v_2 \ wedge \ mathbf v_3 \ wedge \ mathbf v_4 [/ math ] es igual a [math] \ mathbf 0. [/ math] El resto de los elementos en [math] \ Lambda (V) [/ math] serán vectores, cuñas de dos vectores o cuñas de tres vectores.

El espacio vectorial [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math] tiene la base estándar [math] \ mathbf e_1, \ mathbf e_2, \ mathbf e_3, [/ math] y los elementos de [math] \ Lambda (V) [/ math] puede representarse como múltiplos escalares de cuñas de ellos. El producto de cuña [math] \ mathbf v_1 \ wedge \ mathbf v_2 \ wedge \ mathbf v_3 [/ math] de tres vectores es igual a algún múltiplo de [math] \ mathbf e_1 \ wedge \ mathbf e_2 \ wedge \ mathbf e_3, [ / math] ese múltiplo es el determinante de la matriz 3 × 3 cuyas columnas son las coordenadas de los tres vectores [math] \ mathbf v_1, \ mathbf v_2, \ mathbf v_3. [/ math]