Si cada una de las n columnas de una matriz es una combinación lineal de los mismos r vectores, ¿cómo demuestro que el número de columnas linealmente independientes no puede ser mayor que r?

Answer 1

Supongamos primero n> r (que es consistente con el enunciado del problema).
Cada una de las n columnas pertenece a un espacio vectorial atravesado por los r vectores (dado que los n vectores son combinaciones lineales de los r vectores). Este espacio vectorial tiene una dimensión máxima de r (correspondiente al caso en el que todos los vectores r son linealmente independientes). En un espacio vectorial r dimensional, cualquier conjunto de vectores r + 1 (o más) depende (ver la prueba a continuación). Por lo tanto, podemos identificar un máximo de r vectores independientes de cualquier conjunto de vectores (incluido este caso de n vectores de columna)

La prueba del teorema (escrita en cursiva) depende de varios resultados establecidos y fáciles de seguir. Mira las siguientes referencias:
1) Espacios vectoriales dimensionales finitos de Paul Halmos (secciones 6,7 y 8)
2) Página en cam.ac.uk (consulte la sección en base; discusión muy buena y comprensible)

Answer 2

Hacer una matriz M = [aij] 1 = r, seguramente obtenemos una dependencia lineal. Si hay variables menores, no obtienes una solución usando todas, por lo que no tendrás dependencia. Todavía es posible una solución, aunque sea trivial, pero este es el único caso en el que probablemente no terminará con una solución.