¿Qué es una explicación intuitiva de las funciones ortogonales?

Answer 1

Para que podamos responder eso, primero veremos otro concepto que es un espacio funcional, a partir de ahí, ¡son cacahuetes!

Entonces, ¿qué es un espacio funcional? Aunque no existe una definición general para el término “espacio matemático”, generalmente queremos decir lo siguiente: un conjunto donde los elementos interactúan de acuerdo con una estructura dada. Como esto también es una declaración demasiado general, demos los dos ejemplos relevantes. Si conoce álgebra lineal, puede omitir esto.

1. Un espacio vectorial es aquel en el que los elementos (vectores) interactúan de manera similar a la suma y otro campo que actúa de manera multiplicativa (multiplicación escalar) en los vectores. El conjunto de todas las “flechas de dirección” diferentes con su adición intuitiva y estiramiento coincide bien y motiva esta definición.
2. Un espacio interno de producto es un espacio vectorial en el que diferentes vectores pueden producir un escalar en una especie de proceso de multiplicación llamado “producto interno”. En el ejemplo tridimensional dado anteriormente, el coseno normalizado entre vectores nos da un número que, a su vez, nos da una sensación de paralelismo y ortogonalidad entre vectores.

Entonces, en una oración, un espacio de funciones es un espacio vectorial de funciones. Para muchos espacios de funciones, uno puede definir un producto interno y la ortogonalidad tiene un significado obvio.

Pero, ¿cuál es la motivación para todo esto?

En muchos casos, un espacio de funciones estará definido por las propiedades de integrabilidad. El más conocido para esto es el espacio [matemático] L ^ 2 [/ matemático] de todas las funciones integrables cuadradas, es decir, que su valor absoluto cuadrado tiene integral finita. En este sentido, tomar el producto interno como parte integral del producto puntual de las funciones tiene mucho sentido, ¡y va bien con todas nuestras definiciones!

Según esta definición, resulta que tenemos una base de funciones ortogonales para este espacio, al igual que x, y, z es una base ortogonal estándar para las “flechas de dirección” tridimensionales. Por eso, es muy valioso estudiar funciones ortogonales: ¡pueden aproximar y construir “suficientemente bien” cada función en el espacio!

Por supuesto, puede haber muchas formas de integrar esas funciones, con diferentes dominios de integraciones y varias funciones o medidas de peso para integrar. Esos tendrán diferentes motivaciones probabilísticas o físicas, y darán lugar a diferentes funciones ortogonales.

Answer 2

Puntos ortogonales en el espacio euclidiano. Entonces, por ejemplo, (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) en tres espacios. Imagínelos en su mente y geométricamente, todos se cruzan en ángulo recto. Eso es ortogonalidad.

La ortogonalidad se formaliza a través de que el producto punto es cero. El producto punto es una suma, que es una versión discreta de integración. Para las funciones, la ortogonalidad significa que la integral de su producto es cero. Todavía es conveniente y productivo imaginarlos como puntos en el espacio euclidiano. En mi opinión, la belleza de los espacios de Hilbert es que mucha intuición geométrica dimensional finita se traslada al entorno de dimensiones infinitas.

Answer 3

Las funciones también son como vectores. La única diferencia es que los vectores son de dimensión finita (generalmente de 2 o 3 dimensiones), pero las funciones son vectores de dimensión infinita (si (1,2,3) es un vector 3D, entonces una función escrita en una notación vectorial podría ser (f (1) … f (1.2)… .f (5.5)… ..f (97.88) …… ..hasta el infinito). Entonces tienen dimensiones infinitas. Esto significa dos cosas

1. Al igual que necesitamos 3 vectores ortogonales para representar cualquier otro vector en el espacio 3D, necesitaremos un conjunto de funciones ortogonales infinitas para representar cualquier función aleatoria. ¿Cómo decir si dos funciones son ortogonales?
2. Al igual que determinamos la ortogonalidad de dos vectores comprobando que su producto escalar es cero, para las funciones verificamos que cierta integral sea cero. Esta integral nos dice que f (x) es ortogonal a g (x) entre aa b.

Un famoso ejemplo de tales funciones es sin (x), sin (2x), sin (3x)….

cuando

Esto nos permite escribir la serie de Fourier. Del mismo modo, otras funciones ortogonales nos ayudan a escribir otras representaciones en serie de la función. La publicación original fue publicada aquí.

¿Cómo pueden las funciones ser ortogonales?

Answer 4

Supongo que se refiere a algún tipo de contexto de análisis de Fourier. (Sería útil si agregara algún contexto en el campo “Escribir detalles de la pregunta”).

En cualquier caso, “ortogonal” no tiene ningún significado absoluto: dos vectores son solo ortogonales con respecto a algún producto interno . El producto interno más común definido para funciones es
[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int f (t) g (t) dt [/ math]

La idea de los productos internos es que, con suerte, podemos “descomponer” un vector en sus “partes básicas”, literalmente, en realidad, descomponiendo el vector como una suma de vectores de base (adecuadamente escalados). En el contexto del análisis de Fourier, esos vectores base son generalmente ondas senoidales y cosenoidales de algún tipo.

Answer 5

Bueno, dos vectores son ortogonales si sus coordenadas se cancelan linealmente. Del mismo modo, dos funciones son ortogonales si sus valores se cancelan linealmente, en el sentido de que [math] \ int f (x) g (x) dx = 0. [/ math] Dado que estamos tratando con innumerables valores tenemos que integrar en lugar de suma, pero la idea es la misma.