Si P es una matriz en C (NxN) y P = P * y P = P ^ 2 demuestran que P> = 0 y todos los valores propios están contenidos en {0,1}?

Answer 1

[matemáticas] P = P ^ {2} \ rightarrow \ lambda = \ lambda ^ 2. (1) [/ matemáticas]

Esto se desprende del teorema de Caly-Hamilton, que establece que una matriz (P) satisface su propia ecuación característica. Del mismo modo, si P = P * se deduce que los valores propios son reales [supongo * aquí implica conjugación puntual no transposición conjugada, si es transposición conjugada los valores propios son reales y hemos terminado inmediatamente con la prueba]. Mostramos la propiedad real valorada expresando P en forma diagonal. Es decir, procedemos de la siguiente manera:
Prueba: [matemáticas] P = T ^ {- 1} diag (\ lambda_ {i}) T \ rightarrow P ^ {*} = T ^ {- 1 *} diag (\ lambda_ {i} *) T * = T ^ {- 1} diag (\ lambda_ {i}) T \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ rightarrow \ lambda = Real [\ lambda]. [/matemáticas]

Este último paso surge del hecho de que si existen dos transformaciones de similitud para la misma matriz, ambas deben revelar los mismos valores propios. La única solución real para la ecuación (1) del lado derecho es [0,1].
QED