Dados dos puntos finales de un segmento de línea, ¿cómo puedo encontrar las coordenadas del punto que divide el segmento de línea en la relación: [matemática] (1-t): t [/ matemática], restringida al intervalo [matemática] t \ en [0,1] [/ matemáticas]?

Answer 1

Este problema se puede resolver fácilmente por medio de un vector. Deje que [math] \ vec {A} [/ math] sea un vector que apunta desde [math] (0,0) [/ math] a [math] (a_1, a_2) [/ math], [math] \ vec { B} [/ math] sea un vector que apunta desde [math] (0,0) [/ math] a [math] (b_1, b_2) [/ math] y [math] \ vec {P} [/ math] ser un punto vectorial de [matemática] (0,0) [/ matemática] a [matemática] (x, y) [/ matemática] de modo que este punto divida el segmento de línea en relación [matemática] (1-t): t [/matemáticas].

Tenemos [matemáticas] \ vec {AP}: \ vec {PB} = (1-t): t [/ matemáticas], lo que significa
[matemáticas] t (\ vec {OP} – \ vec {OA}) = (1-t) (\ vec {OB} – \ vec {OP}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {OP} = t \ vec {OA} + (1-t) \ vec {OB} [/ matemáticas]
lo que lleva a
[matemáticas] (x, y) = (t a_1 + (1-t) b_1 \;, \; t a_2 + (1-t) b_2) [/ matemáticas]

Answer 2

Dividir el componente x de un segmento de línea le dará dos segmentos cuya relación de longitud es la misma que la relación de sus longitudes x incluso si la línea no es horizontal, por lo que para dividir una línea por una fracción, todo lo que tiene que hacer es divida los componentes x e y por esa fracción (y traduzca en consecuencia) para encontrar el punto de corte.

Prueba:
[matemáticas] \ vec {v} = (x, y) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec {u} = (x_1, y_2) = t \ vec {v} = (tx, ty) [/ matemáticas]
[matemáticas] | \ vec {u} | = \ sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2} = \ sqrt {(tx) ^ 2 + (ty) ^ 2} = t | \ vec {v} | [/ math ]
[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {x_1} {x} = \ frac {| \ vec {u} |} {| \ vec {v} |} [/ matemáticas]

Para resumir:
[matemáticas] x_ {corte} = t \ Delta x + x_1 = t (x_2-x_1) + x_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] y_ {sector} = t \ Delta y + y_1 = t (y_2-y_1) + y_1 [/ matemáticas]

Answer 3

Dados dos puntos finales [matemática] P_1 (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] P_2 (x_2, y_2) [/ matemática]. Asumimos el punto de división [matemática] P (x, y) [/ matemática], entonces tenemos

[matemáticas] (x – x_1) / (x_2 – x) = (1 – t) / t [/ matemáticas]
[matemáticas] (y – y_1) / (y_2 – y) = (1 – t) / t [/ matemáticas]

Entonces obtenemos [matemáticas] x = t x_1 + (1 – t) x_2 [/ matemáticas], [matemáticas] y = t y_1 + (1 – t) y_2 [/ matemáticas], que es la respuesta.

Answer 4

Deje que los puntos finales sean [math] \ vec {a}, \, \ vec {b} [/ math]. La fórmula que estás buscando es

. [matemáticas] (1-t) \ vec {a} + t \ vec {b} [/ matemáticas]