Cómo demostrar que [math] \ det (kA) = k ^ {n} \ det (A) [/ math] dada una matriz A de tamaño [math] n \ times n [/ math]

Answer 1

Te sugiero que uses inducción. Es claramente cierto para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] ya que, en ese caso, [matemáticas] A [/ matemáticas] es un escalar y el determinante es la función de identidad.

Ahora suponga que es cierto para todas las matrices de tamaño [math] n \ times n [/ math] para algunas [math] n \ in \ mathbb N [/ math] en particular. Considere una matriz arbitraria [math] A _ {(n + 1) \ times (n + 1)} [/ math].

Usando la expansión determinante por menores en la primera columna, tenemos:
[matemáticas] | kA | = \ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} (-1) ^ {1 + i} ka_ {i1} | (k \ hat A) _ {i1} | [/ math]

Estoy usando [math] \ hat A_ {ij} [/ math] para ser la submatriz de [math] A [/ math] después de la fila [math] i [/ math] y la columna [math] j [/ math] son removidos. De manera similar, estoy usando [math] (k \ hat A) _ {ij} [/ math] para ser esa misma matriz con cada elemento multiplicado por el escalar [math] k [/ math].

Sabemos que el determinante, [matemática] | (k \ hat A) _ {i1} | = k ^ n | \ hat A_ {i1} | [/ math] debido a nuestra suposición de que esto es válido para todas las matrices de tamaño [ math] n \ times n [/ math] y el hecho de que [math] \ hat A_ {i1} [/ math] es una matriz de ese tamaño. Entonces vemos que:
[matemáticas] | kA | = \ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} (-1) ^ {1 + i} ka_ {i1} k ^ n | \ hat A_ {i1} | [/ math]

Recolectar los [math] k [/ math] y factorizarlos da:
[matemáticas] | kA | = k ^ {n + 1} \ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} (-1) ^ {1 + i} a_ {i1} | \ hat A_ {i1} | [/ math]

Y notamos que la suma restante es exactamente el determinante de [matemáticas] A [/ matemáticas].
[matemáticas] | kA | = k ^ {n + 1} | A | [/ matemáticas]

Así que sabemos que es válido para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] y hemos demostrado que si es válido para algunas [matemáticas] n [/ matemáticas], entonces también es válido para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas ] Por inducción, se mantiene para todos [math] n \ in \ mathbb N [/ math].

Answer 2

Utilice la fórmula de Leibniz para el determinante [math] det (A) = \ sum _ {\ sigma} sgn (\ sigma) \ prod_i A_ {i \ sigma_i} [/ math], donde [math] \ sigma [/ math] es una permutación del conjunto [matemática] 1: n [/ matemática]. Tendrá términos [math] n! [/ Math] en la suma, cada uno es un producto de las entradas [math] n [/ math] de la matriz. Puede factorizar [matemática] k [/ matemática] de cada entrada, y así puede factorizar [matemática] k ^ n [/ matemática] de cada término de la suma.

Answer 3

Quiero decir que esto es trivial pero dudo porque puede sonar como una humillación. Pero no lo es. El punto es que algunos problemas son triviales y es bueno poder reconocer cuándo es cierto.

De la ‘fórmula’ que el Determinante = a1A1 + … + anAn, donde los ‘ai ”son una fila y los A1 son los menores o cofactores correspondientes (firmados). Entonces, multiplicando la fila ai por k, multiplica el determinante por k.

El resultado sigue porque hay n filas.

Answer 4

Ya hay un par de buenas respuestas, pero pensé que también mencionaría que podría usar la propiedad multilinealidad de los determinantes.

Si una matriz A es idéntica a otras matrices, excepto para una fila en particular, y en esa fila las entradas para A son una combinación lineal particular de las entradas de las otras matrices en esa fila, entonces el determinante de A es esa misma combinación lineal de Los determinantes de las otras matrices. Del mismo modo para las columnas.

En particular, si multiplica las entradas en una fila de una matriz por k , entonces el determinante se multiplica por k , por lo que si multiplica todas las filas por k , entonces el determinante se multiplica por la enésima potencia de k.

Answer 5

Sigue a Justin y usa el hecho de que [matemáticas] \ det (AB) = \ det (A) \ det (B) [/ matemáticas]

Answer 6

Use el hecho de que [math] kA = kI \ times A [/ math].