Por lo tanto, considere el sistema [matemáticas] Ax = b [/ matemáticas]
(1) Si [math] b = 0 [/ math], entonces el espacio de solución es un subespacio de [math] (\ mathbb {R} ^ n) ^ T [/ math], la T representa la transposición, y tiene dimensión n – rango (A).
(2) Si [math] b \ neq 0 [/ math], entonces [math] Ax = b [/ math] tiene una solución iff rank (A) = rank [A | si]. Deje [math] Ax_0 = b [/ math] para algunos [math] x_0 [/ math] fijos.
De hecho, {[matemáticas] x [/ matemáticas] | [matemáticas] Ax = b [/ matemáticas]} = {[matemáticas] \ bar {x} + x_0 [/ matemáticas] | [matemáticas] A \ bar {x} = 0 [/ matemáticas]}
Prueba de (1) : Sea T: V-> W el mapa lineal definido por [matemáticas] T (x) = Ax [/ matemáticas]. El espacio de la solución es igual a ker (T). Y es un subespacio de [matemáticas] (\ mathbb {R} ^ n) ^ T [/ matemáticas] que tiene una dimensión n (T) = dimV – r (T) = n – rango (A)
Prueba de (2) : El sistema Ax = b tiene una solución si f b es un elemento de C (A), o el espacio de la columna de A iff C (A) = C [A | b] iff rango (A) = rango [A | si]
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