¿Cómo podemos saber si [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} A ^ n [/ math] convergerá, donde A es una matriz cuadrada?

Answer 1

Al igual que con muchas propiedades de la matriz, deberá observar los valores propios de la matriz. En un caso particular, el cheque es realmente fácil.

Si todos los valores propios son diferentes, entonces la matriz es diagonalizable. Una matriz diagonalizable [matemática] A [/ matemática] se puede escribir como:
[matemáticas] A = PVP ^ {- 1}. [/ matemáticas]
Aquí A es la matriz dada, P es la matriz que usamos para diagonalizar la matriz, V es una matriz diagonal (con los valores propios de A como entradas).

Si ahora tomamos poderes de A, simplemente obtenemos:
[matemáticas] A ^ n = PV ^ n P ^ {- 1}. [/ matemáticas]
Como V es una matriz diagonal, llevarla a la enésima potencia es lo mismo que llevar cada elemento individual a la enésima potencia. Pero cada elemento individual era un valor propio. Entonces, ahora sabe que puede echar un vistazo a los valores propios de A, llevar cada uno de ellos a la potencia n y ver si convergen. Si lo hacen, también lo hará [matemáticas] A ^ n [/ matemáticas].

No todas las matrices tienen valores propios diferentes. Si dos o más son iguales, no puede copiar exactamente la idea anterior. Sin embargo, creo (no estoy seguro, así que no me cite sobre esto), que puede usar otra descomposición. Exactamente como arriba:
[matemáticas] A = PVP ^ {- 1}. [/ matemáticas]
Solo ahora [matemáticas] V = D + N [/ matemáticas], donde D es una parte diagonal y N es una matriz nilpotente. Eso significa que [matemática] N ^ k = 0 [/ matemática] para algún valor de k (y todos los valores más grandes, obviamente).
Entonces, en este caso, tenemos:
[matemática] A ^ n = P (D + N) ^ n P ^ {- 1} [/ matemática].
Ahora puede expandir el término [matemática] (D + N) ^ n [/ matemática]. Normalmente, esto dará n términos, y luego tomar el límite hará imposible juzgar las divergencias. Pero como N es nilpotente, todos los términos con [matemática] N ^ l [/ matemática] con [matemática] l \ geq k [/ matemática] desaparecerán. Entonces, incluso si llevas n al infinito, tendrás una cantidad finita de términos. Por lo tanto, toda la cuestión de la divergencia volverá a reducir los componentes diagonales de [matemáticas] D [/ matemáticas], que en este caso (si no recuerdo mal) representan nuevamente los valores propios de A.

Tenga en cuenta que la primera parte (de matrices diagonalizables) es correcta hasta donde sé, no es una prueba, pero es cómo puede verificar las divergencias. La segunda parte, no estoy seguro, porque no puedo recordar si la descomposición es válida para cualquier matriz arbitraria

Answer 2

Para los estados estables de la cadena Markov, está buscando un estado [math] \ mathbf x [/ math] tal que [math] A \ mathbf x = \ mathbf x [/ math], entonces [math] \ mathbf x [/ math] será un vector propio para el valor propio 1 de [math] A. [/ math] Una matriz estocástica es una matriz que describe las transiciones de una cadena de Markof, y siempre tendrá un valor propio de 1.

Por lo tanto, encontrar los estados estables se reduce a resolver la ecuación [math] (AI) \ mathbf x = \ mathbf0, [/ math] y esa es una operación algebraica. Si la cadena de Markov tiene todas las entradas distintas de cero (incluso si está conectada y tiene algunos requisitos más débiles), entonces hay un estado de probabilidad constante único [math] \ mathbf x [/ math]. Ese suele ser el caso, y en ese caso [math] \ displaystyle L = \ lim_ {n \ to \ infty} A ^ n [/ math] consiste en [math] \ mathbf x [/ math] en todas sus columnas.

Ejemplo. Que haya 3 estados, [matemática] s_1, s_2, s_3 [/ matemática] con probabilidades de transición [matemática] P (s_2 | s_1) = P (s_3 | s_1) = 1/2 [/ matemática], [matemática] P (s_2 | s_2) = 1/3 [/ matemática], [matemática] P (s_3 | s_2) = 2/3 [/ matemática] y [matemática] P (s_2 | s_3) = 1 [/ matemática]. Entonces la matriz de transición es

[matemática] A = \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/3 & 1 \\ 1/2 & 2/3 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]

El espacio propio para [math] A [/ math] con eigenvalue 1 tiene dimensión 1, y está abarcado por el vector de probabilidad [math] \ mathbf x = (0, \ frac35, \ frac25) [/ math]. La matriz límite [matemática] L [/ matemática] es

[matemática] L = \ begin {bmatrix} 0 y 0 y 0 \\ 3/5 y 3/5 y 3/5 \\ 2/5 y 2/5 y 2/5 \ end {bmatrix} [/ matemática]