¿Hay algún truco para encontrar el inverso de una matriz 3 × 3 en un examen basado en MCQ?

Answer 1

Para abordar el caso de los instructores realmente rudos que formulan las preguntas, haría lo siguiente:
(1) Piense en la matriz [matemática] 3 \ veces 3 [/ matemática] dada como una ecuación simultánea en 3 incógnitas:
[matemáticas] Ax = c [/ matemáticas]
(2) Sabemos que para resolver la ecuación tenemos que hacer lo siguiente: [matemáticas] x = A ^ {- 1} .c [/ matemáticas]
(3) Ahora elija los vectores [matemática] c [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática], que minimizará el esfuerzo de hacer un cálculo manual para verificar [matemática] AA ^ {- 1} = I [/ matemática]
(4) Por ejemplo, elija [matemática] x = \ {1,0,0 \} [/ matemática], calcular [matemática] c [/ matemática] es simplemente seleccionar la primera columna de A (por lo que no hay realmente cómputo). Luego haga [math] A ^ {- 1} .c [/ math], para ver rápidamente si esto coincide con [math] x [/ math].
(5) Si [matemática] A ^ {- 1} .c [/ matemática] no coincide con [matemática] x [/ matemática], entonces no puede ser el inverso de la [matemática] dada 3 \ por 3 [/ Matemáticas].
(6) Con la práctica, podrá recoger [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] de modo que el tiempo de verificación se minimice.

Veamos un ejemplo:

[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 1 y 1 y 0 \\ 1 y 2 y 1 \ end {bmatrix} [/ matemáticas]
Sabemos:
[matemáticas] A ^ {- 1} = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Como mencioné antes, tomemos [math] x = [1 \, 0 \, 0] ^ T [/ math], luego [math] c = Ax [/ math], que nos da:
[matemáticas] c = \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Ahora necesitamos hacer [math] A ^ {- 1} .c [/ math] y verificar si esto coincide con [math] x [/ math]. En el caso anterior lo hace. Si no lo hizo, la matriz dada no puede calificar para [matemáticas] A ^ {- 1} [/ matemáticas]. Sin embargo, si la verificación pasa, significa que posiblemente puede ser un inverso.
Por ejemplo, considere otra opción dada para ser:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 3 y -3 \\ -1 y 1 y 0 \\ 1 y -2 y 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Esto pasa la prueba pero no es [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática]. En este caso, necesita al menos una prueba más. La mejor opción es elegir una [matemática] x [/ matemática] totalmente aleatoria, y aumentará sus posibilidades de eliminación rápida de los no inversos. Sin embargo, en este caso, podría haber rechazado esta opción, ya que el inverso de la matriz triangular inferior (superior) siempre es una matriz triangular inferior (superior).

Tenga en cuenta que así es como funciona el algoritmo aleatorio . Si la verificación falla, la opción dada ciertamente no es la respuesta, y si se aprueba, es probable pero no seguro que sea la respuesta. En este caso, puede hacer 2 pruebas para aumentar la probabilidad de ser correcto. En el caso de los casos de matriz 3 × 3, tres pruebas independientes que pasan es la opción probablemente correcta. Pero en un MCQ, la principal preocupación es eliminar rápidamente las elecciones equivocadas.

Espero que ayude. Gracias por A2A.

Answer 2

Deje que [math] A [/ math] sea la matriz [math] 3 \ times 3 [/ math] dada en la pregunta de opción múltiple y tenemos que encontrar inversa para ello.

Como [math] AA ^ {- 1} = I = [/ math] [math] \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math]

Comience a multiplicar cada opción con la matriz dada, una de ellas será la matriz [matemáticas] I [/ matemáticas].

Tenemos que omitir una opción mientras verificamos, si encontramos otros que no sean 1 en los elementos diagonales principales y otro que no sea 0 en los elementos diagonales no principales.

No conozco ningún otro método más corto que este para hacer.

Gracias por A2A 🙂

Answer 3

* A2A *

Como señala Chanakya, multiplicar las matrices es la única opción. Sin embargo, puede intentar eliminar ciertas matrices basadas en propiedades de inversas:

1. Si la matriz es simétrica, la inversa también es simétrica. Por lo tanto, elimine las matrices no simétricas.
2. Si la matriz no es simétrica, la inversa tampoco es simétrica. Así que elimine cualquier matriz simétrica
3. La matriz debe ser no singular para tener inversa. Entonces, si “ninguno de los anteriores” es una opción, calcule el determinante de la matriz para asegurarse de que no sea singular. Recuerde usar las propiedades del determinante para verificar la singularidad, por ejemplo, si dos filas / columnas de la matriz son idénticas, entonces el determinante será 0. De manera similar, si una de las filas / columnas es una versión a escala de otra fila / columna, el determinante será cero. Además, si una de las filas / columnas es una combinación de las otras filas / columnas, entonces el determinante sigue siendo 0. Si puede detectar cualquiera de estos muy rápidamente, puede hacer una verificación rápida de singularidad. Si la matriz dada no es singular, elimine cualquier matriz singular que pueda encontrar en las opciones.

Por lo general, el MCQ está diseñado con las propiedades anteriores en mente, para que los estudiantes puedan explotarlas para llegar rápidamente a la solución. Sin embargo, en algunos casos, un instructor en uno de sus malos estados de ánimo puede crear MCQ sin ninguna de las propiedades anteriores, en cuyo caso, la única arma que tiene es multiplicar las matrices.

Answer 4

Siempre que tengo que invertir una matriz cuadrada que es más grande que una matriz [matemática] 2 \ veces2 [/ matemática], utilizo el siguiente método, ilustrado a continuación con una matriz [matemática] 3 \ veces 3 [/ matemática].

Escriba la matriz [matemática] 3 \ veces 3 [/ matemática] [matemática] A [/ matemática] en la mitad izquierda de una matriz [matemática] 3 \ veces 6 [/ matemática] y escriba la matriz de identidad en la mitad derecha . Puede dibujar una línea vertical entre las dos mitades si lo desea. Luego use operaciones de fila para reducir el lado izquierdo a una forma escalonada reducida. He mostrado los pasos a continuación.
Si termina con la matriz de identidad en la mitad izquierda, entonces el inverso [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática] estará en la mitad derecha. Si obtiene una fila de [matemática] 0 [/ matemática] en la mitad izquierda, entonces el inverso no existe.

Answer 5

Bueno, esto es lo que pensé en mi academia. Por favor pregunte si no ha entendido nada en específico.

Nota: esto funciona solo para terceros