Ok, comencemos con las definiciones.
Los vectores que proporciona forman una familia de vectores (o familia de vectores) .
Las familias vectoriales pueden abarcar espacios vectoriales. Por ejemplo, nuestro marco xy habitual (R2) es en realidad un espacio vectorial. Generalmente consideramos que está abarcado por la familia de vectores {(0,1), (1,0)} y definimos todo lo que hacemos en este espacio vectorial de acuerdo con estos vectores. Por ejemplo, llamamos al punto a la derecha y a la parte superior del origen por 5 unidades como (5,5). Hasta ahora no debería haber nada nuevo para ti, con suerte.
Ahora cambiemos nuestra base. ¿Qué pasa si tomamos {(0, -1), (- 1,0)} como la familia de vectores que abarca nuestro espacio vectorial. El mismo punto se convierte en (-5, -5) de acuerdo con esta base porque vamos -5 veces en la dirección (-1,0) y -5 veces en la dirección (0, -1).
Entonces quizás puedas comenzar a ver lo que está sucediendo. Antes de decir qué es una base dependiendo de las definiciones matemáticas, podemos decir que es lo que tomamos como referencia cuando definimos vectores en un espacio vectorial. Una base no necesita ser ortogonal, puede tomar como referencia o base {(1, -1), (- 1,2)} y puede generar cualquier vector que desee en R2 con estos dos vectores.
Ahora una última cosa 🙂 Quizás puedas decir, “Pero bueno, puedo generar cualquier vector que quiera en R2 con 3 vectores también, ¿no cuenta como base?”. Por supuesto, puede generar cualquier vector en R2 con unos 3 vectores, pero puede haber un problema. Digamos que {(-1,1), (1,0), (0,3)} abarca R2 y usted y su amigo toman esto como referencia. Le dice a su amigo que encuentra el vector generado por v1 + v2 + v3 (1 * (- 1,1) + 1 * (1,0) + 1 * (0,3)) el más hermoso y luego su amigo dice pero no, el generado por 0 * v1 + 0 * v2 + (4/3) * v3 (0 * (- 1,1) + 0 * (1,0) + (4/3) * (0,3) )es el más bonito. ¡Entonces empiezas a discutir! ¡Después de perder a un amigo, te das cuenta de que en realidad estabas hablando de lo mismo! ¿Cómo podría suceder aunque tomaste la misma referencia? Por supuesto, los matemáticos son muy inteligentes y, después de ver el problema, dijeron: “Amigos, de ahora en adelante, cuando tomamos una referencia, siempre tomamos vectores independientes y los llamaremos vectores independientes que abarcan el espacio vectorial como base de este vector ¡espacio!”. Y, por supuesto, todos aplauden y los matemáticos ahora están mucho más felices.
PD: La respuesta a tu pregunta es no por cierto