Voy a responder la pregunta “¿Las matrices dispersas tienen valores propios más pequeños que las matrices densas?” (No sé cómo pensar sobre el tamaño o el valor de un vector propio. Los vectores propios se pueden normalizar como quiera).
La respuesta a esa pregunta es “no”.
“Matriz dispersa” tiene significados diferentes pero relacionados en las matemáticas y en la implementación de una computadora.
1. En matemáticas , “matriz dispersa” no es un término preciso. Algunas matrices son más escasas que otras. Pero una matriz diagonal es bastante escasa y, sin embargo, puedo tener los valores propios que quiera. Mira aquí, lleno la diagonal principal con los valores propios [matemática] N [/ matemática] que quiero, [matemática] \ lambda_1 [/ matemática] hasta [matemática] \ lambda_N, [/ matemática] y dejo todo lo demás cero:
- ¿Cómo se puede demostrar que la transformación de Mobius es la forma más general de aplicación conforme?
- ¿Es posible tener un campo vectorial no conservador [math] \ vec {F} [/ math] con algunos (pero no todos) caminos cerrados [math] c_i [/ math] tal que [math] \ oint \ limits_ { c_i} \ vec {F} \ cdot d \ vec {s} = 0 [/ math]?
- ¿Se pueden representar todas las funciones lineales en un espacio vectorial como productos internos con diferentes vectores?
- En álgebra lineal, ¿hay identidades de conmutador que sean independientes de la identidad de Jacobi?
- ¿Son idénticas las funciones inversas y los problemas inversos?
[matemática] \ begin {bmatrix} \ lambda_1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda_2 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ ddots & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 \ 0 {\ lambda [/matemáticas].
Puedo configurar los valores propios individualmente yendo a [math] \ lambda_1 = 10 ^ {534} [/ math] o lo que quiera.
2. En una computadora , “matriz dispersa” realmente se refiere a una técnica para ahorrar espacio y tiempo. La representación “densa” de una matriz cuadrada significa que doy los valores para todas las entradas [matemáticas] N ^ 2 [/ matemáticas], incluso las que son cero. En la representación “dispersa”, solo da las entradas distintas de cero y sus ubicaciones. El software se puede escribir para hacer cálculos en matrices en ese formato escaso. Si las matrices son lo suficientemente escasas, eso ahorra mucho espacio y tiempo. Los valores propios son iguales en ambos sentidos.