¿Qué fracción de las matrices NxN con elementos en F_3 no son singulares?

Answer 1

Tu cálculo es correcto; el orden de [math] GL_ {3} (F_ {3}) [/ math] es [math] 11,232. [/ math]

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Para obtener esta respuesta, podemos hacer la pregunta equivalente: “¿Cuántas matrices con elementos en [math] F_ {3} [/ math] tienen columnas linealmente independientes?”

Bueno, hay [matemáticas] 3 ^ 3 [/ matemáticas] posibilidades para la primera columna. Pero como debemos garantizar la independencia lineal, debemos excluir la columna trivial (todo cero). Por lo tanto, solo hay [matemáticas] 3 ^ 3 – 1 [/ matemáticas] posibilidades para la primera columna.

En cuanto a la segunda columna, nuestro objetivo de independencia lineal nos lleva a imponer la restricción de que la segunda columna no sea un múltiplo constante de la primera. Como estamos trabajando en [math] F_ {3} [/ math], solo hay 3 múltiplos diferentes de la primera columna una vez que se elige (tenga en cuenta que esto también incluye el caso trivial). Por lo tanto, de las [2] 3 3 3 [/ matemáticas] posibles columnas 2, 3 de las cuales dependen linealmente de la 1ª, lo que significa que solo hay [matemáticas] 3 ^ 3 – 3 [/ matemáticas] posibilidades para el 2da columna

El caso para la tercera columna se calcula de manera similar, y encontrará que hay [matemáticas] 3 ^ 3 – 3 ^ 2 [/ matemáticas] diferentes posibilidades para la tercera columna (dados dos vectores linealmente independientes, hay solo [matemática] 3 ^ 2 [/ matemática] vectores diferentes que se encuentran en el plano generado por los dos vectores).

Por lo tanto, la fracción de [math] 3 × 3 [/ math] matrices con entradas en [math] F_ {3} [/ math] que no son singulares es:

[matemáticas] \ frac {(3 ^ 3 – 1) (3 ^ 3 – 3) (3 ^ 3 – 3 ^ 2)} {3 ^ 9} = \ frac {11,232} {3 ^ 9} = \ frac { 416} {729} \ aproximadamente 0.5706447 – [/ math] ¡Esto es más de la mitad de ellos!

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Podemos extender este razonamiento al caso general. En general, dado [math] F_ {p} [/ math] donde p es un número primo,

[matemáticas] | GL_ {n} (F_ {p}) | = \ prod_ {i = 0} ^ {n-1} (p ^ n -p ^ i) [/ math]

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Entonces, para responder la pregunta original: La fracción de matrices NxN que tienen entradas en [math] F_ {3} [/ math] que no son singulares es:

[matemáticas] [\ prod_ {i = 0} ^ {N-1} (3 ^ N – 3 ^ i)] / 3 ^ {N ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 2

Sobre un campo finito con elementos [math] q [/ math], todas las matrices no singulares [math] n \ times n [/ math] se pueden construir de la siguiente manera:

Primera fila: cualquier vector distinto de cero, [math] q ^ n-1 [/ math] opciones.

Segunda fila: cualquier vector que no sea un múltiplo escalar de la primera fila. Hay [math] q ^ n [/ math] posibles vectores y [math] q [/ math] múltiplos escalares de la primera fila, por lo que [math] q ^ nq [/ math] en general.

Tercera fila: cualquier vector que no sea una combinación lineal de los dos primeros. Las combinaciones lineales son algunas veces escalares la primera fila más algunas veces escalares la segunda fila, y dado que se sabe que las dos primeras filas son independientes, hay tantas combinaciones lineales como pares de escalas. Combinaciones lineales totales: [matemáticas] q ^ 2 [/ matemáticas]. Total de terceras filas independientes: [matemáticas] q ^ nq ^ 2 [/ matemáticas].

Puedes ver el patrón por ahora. La fila [matemática] k [/ matemática] tiene opciones [matemática] q ^ nq ^ k [/ matemática]. Entonces, el número de matrices no singulares es solo el producto de todas estas cosas:

[matemática] \ displaystyle | \ mbox {GL} _n (\ mathbb {F} _q) | = \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ nq ^ k) [/ math]

Esto es cierto para cualquier [matemática] n [/ matemática] yy [matemática] q = p ^ m [/ matemática], una potencia de algún primo.

Por ejemplo, con [math] n = k = 3 [/ math] obtienes

[matemáticas] \ displaystyle | \ mbox {GL} _3 (\ mathbb {F} _3) | = (3 ^ 3-1) (3 ^ 3-3) (3 ^ 3-9) = 11232 [/ matemáticas].

Answer 3

Para la primera fila, puede elegir cualquier combinación de los elementos [math] 3 [/ math] con la excepción de cualquier combinación que proporcione el vector cero, siempre que tenga entradas [math] 3 [/ math] en la fila que tiene [matemáticas] 3 ^ 3-1 [/ matemáticas] opciones para esta fila. Para la siguiente fila tiene que ser linealmente independiente, lo que significa que puede tener cualquiera de las combinaciones [matemáticas] 3 ^ 3 [/ matemáticas] menos el número de múltiplos de la primera fila (¿por qué no tenemos que considerar también el cero? vector, dado que es un múltiplo de la primera fila, es decir, [math] 0 [/ math]), tiene [math] 3 ^ 3-3 [/ math] para esta fila. Para el último tiene [matemática] 3 ^ 3 [/ matemática] menos cualquier múltiplo de las dos filas anteriores, de las cuales habrá [matemática] 3 \ cdot 3 = 3 ^ 2 [/ matemática]. La cardinalidad del grupo es el múltiplo de todas las combinaciones posibles que es [matemática] (3 ^ 3-1) (3 ^ 3-3) (3 ^ 3-3 ^ 2) [/ matemática]. ¿Y si mi campo tuviera elementos [math] p [/ math]? ¿Qué sucede si la matriz tiene entradas [matemáticas] n ^ 2 [/ matemáticas]? Siéntase libre de publicar un comentario si aún no puede resolverlo.