No estoy muy seguro de qué es exactamente lo que el OP quisiera haber aclarado, pero aquí está mi comprensión de la declaración:
¿Cómo probar la igualdad [matemáticas] (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (bc + ad) i [/ matemáticas] usando la multiplicación de números complejos en forma polar?
Siguiendo esta suposición (amablemente corríjame si estoy equivocado), estamos bien para proceder:
La siguiente es la igualdad bajo consideración:
- ¿Hay algún significado en agregar la matriz de adyacencia de dos gráficos módulo 2?
- ¿Dónde puedo encontrar el código de factorización matricial en Java?
- ¿En qué casos es incorrecto tratar la función delta de Dirac como un vector propio?
- ¿Son los valores propios de las ecuaciones de diferencias finitas para la ecuación de difusión los mismos que los valores propios de sus soluciones continuas?
- Cómo calcular el crecimiento anual usando la multiplicación
[matemáticas] (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (bc + ad) i [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 0} [/ matemáticas]]
Considere los números complejos [matemática] z_1 [/ matemática] y [matemática] z_2 [/ matemática] (usando la fórmula de Euler) como:
[matemática] z_1 = a + bi = r_1e ^ {i \ theta_1} [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 1} [/ matemática]]
[matemáticas] z_2 = c + di = r_2e ^ {i \ theta_2} [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas]]
Al expandirnos a la forma Polar, obtenemos:
[matemáticas] a + bi = r_1 (cos \ theta_1 + sin \ theta_1i) [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]
[matemáticas] c + di = r_2 (cos \ theta_2 + sin \ theta_2i) [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas]]
O, en otras palabras,
[matemáticas] a = r_1cos \ theta_1 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 5} [/ matemáticas]]
[matemática] b = r_1sin \ theta_1 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 6} [/ matemática]]
[matemáticas] c = r_2cos \ theta_2 [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 7} [/ matemáticas]]
[matemática] d = r_2sin \ theta_2 [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 8} [/ matemática]]
Ahora que tenemos todos nuestros requisitos previos, estamos listos para comenzar. Comenzaremos con el lado izquierdo de la ecuación [math] {\ color {red} 0} [/ math]:
[matemáticas] (a + bi) (c + di) [/ matemáticas]
[matemáticas] = r_1e ^ {i \ theta_1} r_2e ^ {i \ theta_2} [/ matemáticas] [de [matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] {\ color {rojo} 2 }[/matemáticas]]
[matemáticas] = r_1r_2e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} [/ matemáticas]
[matemática] = r_1r_2 (cos (\ theta_1 + \ theta_2) + sin (\ theta_1 + \ theta_2) i) [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 9} [/ matemática]]
Lado derecho de la ecuación [matemáticas] {\ color {rojo} 0} [/ matemáticas]:
[matemática] (ac – bd) + (bc + ad) i [/ matemática]
[math] = (r_1cos \ theta_1r_2cos \ theta_2 – r_1sin \ theta_1r_2sin \ theta_2) + (r_1sin \ theta_1r_2cos \ theta_2 + r_1cos \ theta_1r_2sin \ theta_2) i [/ math] [sustituyendo de [red}}} [/ math], [math] {\ color {red} 6} [/ math], [math] {\ color {red} 7} [/ math] y [math] {\ color {red} 8} [/ matemáticas]]
[matemática] = (r_1r_2cos \ theta_1cos \ theta_2 + r_1r_2sin \ theta_1sin \ theta_2i ^ 2) + (r_1r_2sin \ theta_1cos \ theta_2 + r_1r_2cos \ theta_1sin \ theta_2) i [/ math] [esto]
Al reorganizar los términos, obtenemos:
[matemática] = (r_1r_2cos \ theta_1cos \ theta_2 + r_1r_2sin \ theta_1cos \ theta_2i) + (r_1r_2sin \ theta_1sin \ theta_2i + r_1r_2cos \ theta_1sin \ theta_2) i [/ math]
Sacando [math] r_2cos \ theta_2 [/ math] fuera común del primer paréntesis, y [math] r_2sin \ theta_2 [/ math] del segundo, llegamos a:
[matemáticas] = r_2cos \ theta_2 (r_1cos \ theta_1 + r_1sin \ theta_1i) + r_2sin \ theta_2i (r_1sin \ theta_1i + r_1cos \ theta_1) [/ math]
[matemáticas] = (r_2cos \ theta_2 + r_2sin \ theta_2i) (r_1cos \ theta_1 + r_1sin \ theta_1i) [/ math]
[matemáticas] = r_2e ^ {i \ theta_2} r_1e ^ {i \ theta_i} [/ matemáticas]
[matemáticas] = r_1r_2e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} [/ matemáticas]
[math] = r_1r_2 (cos (\ theta_1 + \ theta_2) + sin (\ theta_1 + \ theta_2) i) [/ math] [[math] {\ color {red} {10}} [/ math]]
Dado que [math] {\ color {red} 9} [/ math] == [math] {\ color {red} {10}} [/ math], QED
Espero que haya ayudado.