Por lo tanto, queremos verificar que [math] \ R [x], +, \ cdot [/ math] es un anillo (polinomial).
Primero definamos la suma:
[matemáticas] +: \ R [x] \ veces \ R [x] \ rightarrow \ R [x] 🙁 a_nx ^ n +… + a_1x + a_0, b_mx ^ n +… + b_1x + b_0) \ mapsto a_nx ^ n +… + (a_m + b_m) x ^ m +… + (a_1 + b_1) x + a_0 + b_0 [/ matemática]
Aquí supongo que [math] m n [/ math] y [math] m = n [/ math].
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- Si dos matrices [matemáticas] A, B [/ matemáticas] tienen los mismos vectores propios, ¿significa esto [matemáticas] AB = BA [/ matemáticas]?
Ahora definamos la multiplicación
[matemáticas] \ cdot: \ R [x] \ times \ R [x] \ rightarrow \ R [x] 🙁 a_nx ^ n +… + a_1x + a_0, b_mx ^ n +… + b_1x + b_0) \ mapsto (a_nx ^ n +… + a_1x + a_0) \ cdot (b_mx ^ n +… + b_1x + b_0) [/ matemática]
Aquí usamos la ley distributiva de los números reales para evaluar la expresión.
También tenemos que [matemáticas] a_1, …, a_0, b_m, …, b_0 \ in \ R [/ matemáticas]
Para probar que [math] \ cdot [/ math] obedece la ley distributiva, solo tome tres polinomios
[matemáticas] p (x), q (x), r (x) \ in \ R [x] [/ matemáticas] y calcular [matemáticas] r (x) (p (x) + q (x)) [/ matemáticas] y [matemáticas] r (x) p (x) + r (x) q (x) [/ matemáticas]. Si compara las dos expresiones, verá que [math] \ cdot [/ math] obedece la ley distributiva.
Esta es una prueba legítima de que [math] \ R [x], +, \ cdot [/ math] es un anillo.