Al determinar el espacio de columna de una matriz dada, ¿cuál es la base?

Answer 1

Una pequeña corrección a la pregunta: no es ‘ la’ base, sino ‘ a’ (la base para un espacio vectorial no es única).

Ahora, volviendo a su pregunta, dada una matriz [matemática] A, [/ matemática] los vectores de columna de [matemática] A [/ matemática] abarcan el espacio de la columna [matemática] \ text {col} (A) [/ matemática] , pero pueden no ser linealmente independientes, en cuyo caso el conjunto de vectores de columna no es una base. Para encontrar una base para [math] \ text {col} (A) [/ math], reducimos [math] A [/ math] a una forma reducida de escalón de fila [math] \ text {rref} (A) [/ math ] Como [math] \ dim (\ text {col} (A)) = \ text {rank} (A) [/ math], elegimos las columnas de [math] A [/ math] correspondientes a las [math] iniciales 1 [/ math] ‘s en [math] \ text {rref} (A) [/ math], y estas columnas formarán una base para el espacio de columna [math] \ text {col} (A) [/ math] .

Tenga en cuenta que el espacio de columna de [math] \ text {rref} (A) [/ math] no necesita ser el mismo que el espacio de columna de [math] A [/ math]. Por ejemplo, una vez que obtenga las filas cero en [math] \ text {rref} (A) [/ math], si la matriz original [math] A [/ math] tenía todas las filas distintas de cero, entonces obviamente [math] \ texto {col} (A) \ neq \ text {col (rref} (A)) [/ math]. Por lo tanto, las columnas de [math] \ text {rref} (A) [/ math] pueden no ser una base para [math] \ text {col} (A). [/ Math]