Para la función general f (x), si x * no es una raíz de f (x), ¿puede x * ser una raíz de f ‘(x)? Además, ¿qué pasa si f (x) es un polinomio?

Puedo probar algo más profundo: [matemática] x ^ * [/ matemática] es una raíz de [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] f ‘(x) [/ matemática] si y solo si [ matemáticas] x ^ * [/ matemáticas] es una raíz repetida de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas].
Prueba: Sea [math] x ^ * [/ math] una raíz de [math] f (x) [/ math], de modo que [math] f (x) = (xx ^ *) ^ qg (x) [ / math] para algún número entero positivo [math] q [/ math] y para alguna función [math] g (x) [/ math] cuyas raíces no incluyen [math] x ^ * [/ math]. Entonces

[matemáticas] f ‘(x) = q (xx ^ *) ^ {q-1} g (x) + (xx ^ *) ^ q g’ (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] f ‘(x) = (xx ^ *) ^ {q-1} (q \, g (x) + (xx ^ *) g’ (x)). [/ matemáticas]

Si [matemática] q = 1 [/ matemática], entonces [matemática] f ‘(x ^ *) = g (x ^ *) \ ne 0 [/ matemática]. Sin embargo, si [matemática] q> 1 [/ matemática], entonces [matemática] f ‘(x ^ *) = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, [math] x ^ * [/ math] es una raíz de [math] f (x) [/ math] y [math] f ‘(x) [/ math] exactamente cuando [math] x ^ * [ / math] es una raíz repetida de [math] f (x) [/ math].

Por lo tanto, para responder a su pregunta, simplemente puede comenzar desde cualquier función [math] f (x) [/ math] que tenga al menos una raíz que no se repita. Al diferenciar, esta raíz no repetitiva seguramente no será una raíz de [math] f ‘(x) [/ math]. Para hacer viceversa, comience con [math] f ‘(x) [/ math], luego integre para obtener [math] f (x) + c [/ math]. Ajuste [math] c [/ math] para que las raíces de [math] f (x) [/ math] tengan al menos una raíz no repetitiva, y ya está. En el caso de los polinomios, esto siempre se puede hacer, porque los polinomios son continuos.

No hay conexión entre las raíces de una función y la de su función derivada. Pero, si un número c es una raíz repetida de una función, entonces c también es una raíz de la función derivada. Polynomial no tiene excepción. Por ejemplo, f (x) = x ^ (2) – 3x – 4, tiene solo dos raíces 4 y – 1. Pero, f ‘(x) = 2x – 3 tiene solo una raíz 1.5

Como su pregunta solicita una posibilidad, de modo que f (x *) no sea 0 sino f ‘(x *) = 0, puede construir fácilmente dicha función. Tenga en cuenta que los valores de x = x * donde f ‘(x *) será 0 son los valores exactos de x donde f (x) alcanza un máximo o un mínimo o tiene un punto de inflexión. Sin embargo, no es necesariamente cierto que siempre que una función, a saber, f (x) aquí, alcanza máximos o mínimos o sufre un cambio de curvatura en el punto de inflexión, alcanza 0. Tome por ejemplo f (x) = senx que no alcanza 0 en x = pi / 2 pero la derivada de f (x) que es cosx toma 0 en x = pi / 2.

En cuanto a un polinomio, se sigue el mismo argumento. Considere el ejemplo de f (x) = x ^ 2 + 1 que no toma 0 en x = 0; entonces x = 0 no es una raíz, pero es una raíz para f ‘(x) = 2x.

primero, supongamos que esta función general es diferenciable y que f ‘es la derivada de f.

sea, x * sea tal que f (x) obtenga un máximo o mínimo local y que este valor, es decir, f (x *) sea diferente de 0. En este caso, x * no es una raíz de f (x) pero Es una raíz de f ‘(x). Esto es así porque f ‘(x) es 0 cuando x alcanza el máximo o mínimo para la función f.

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[matemáticas] W = \ {(x_1, x_2, x_3) ^ T: 3x_1 + \ frac {1} {4} x_2 = 0 \} [/ matemáticas]. ¿Es W un subespacio de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]?

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