No hay una manera fácil de resolver esta ecuación de manera algebric.
Uno puede preguntarle a Wolfram-Alpha sobre consejos:
a ^ x = bx + c – Wolfram | Alpha
Entonces la respuesta general es:
- Como ingeniero eléctrico, ¿debo tomar álgebra lineal?
- Matemáticas: ¿Cómo pruebo la independencia / dependencia lineal de las siguientes funciones en un intervalo dado?
- ¿Para qué se usan las matrices dispersas? ¿Cuál es su aplicación en el aprendizaje automático?
- Aproximadamente, ¿cuántas personas en el mundo conocen el álgebra lineal?
- Probabilidad (estadísticas): supongamos que tenemos una matriz de bits de tamaño NXM. ¿Cuál es el número estimado de filas en la matriz que tienen un número distinto de 1 en ellas?
[matemáticas] x = \ frac {-b W_n (- \ frac {a ^ {- c / a} \ log a} {b}) – c \ log a} {b \ log a} [/ math]
[matemáticas] x = – \ frac {1} {\ log a} W_n (- \ frac {a ^ {- c / a} \ log a} {b}) – \ frac {c} {b} [/ math ]
No es bonito, ¿verdad?
[math] W_n [/ math] son las funciones de Lambert. Dado [math] f (z) = ze ^ z [/ math], [math] W_n [/ math] se definen como las ramas de las funciones inversas de [math] f [/ math] con [math] z [/ math ]Número complejo.
[matemáticas] W_n [/ matemáticas] no se puede expresar en términos de funciones elementales …
La función estándar de Lambert se puede usar para resolver el siguiente tipo de ecuaciones:
[matemáticas] e ^ {- \ gamma x} = \ alpha_0 (x – \ eta) [/ matemáticas]
La solución para [math] x [/ math] en entonces:
[matemáticas] x = \ eta + \ frac {1} {\ gamma} W (\ frac {\ gamma e ^ {- \ gamma \ eta}} {\ alpha_0}) [/ math]
Entonces, todo lo que tenemos que hacer es tratar de expresar la ecuación dada en la forma requerida, para derivar la primera solución con [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] W_n = W [/ matemáticas].
[matemáticas] e ^ {- x (- \ log a)} = b (x + c / b) [/ matemáticas]
Entonces tenemos
[math] \ gamma = – \ log a [/ math]
[matemáticas] \ alpha _0 = b [/ matemáticas]
[matemáticas] \ eta = c / b [/ matemáticas]
Lo que lleva a la solución requerida.
Hay otras soluciones para [matemáticas] W_n [/ matemáticas], [matemáticas] n \ geq 1 [/ matemáticas] pero la idea está ahí.