Si dos matrices [matemáticas] A, B [/ matemáticas] tienen los mismos vectores propios, ¿significa esto [matemáticas] AB = BA [/ matemáticas]?

Answer 1

Asumo aquí que ‘las matrices [matemáticas] A, B [/ matemáticas] tienen vectores característicos [matemáticos] n [/ matemáticos]’ significa ‘que tienen vectores característicos linealmente independientes [matemáticos] n [/ matemáticos]’. (Esto es razonable suponer porque, estrictamente hablando, cada matriz cuadrada tiene un número infinito de vectores propios, ya que si [math] x [/ math] es un vector propio, también lo es cualquier múltiplo de [math] x [/ math]).

Como [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son ​​matrices [math] n \ times n [/ math] con vectores propios [math] n [/ math], ambas son diagonalizables. Por lo tanto, [math] A = P_1 ^ {- 1} \ Lambda_1 P_1 [/ math] y [math] B = P_2 ^ {- 1} \ Lambda_2 P_2 [/ math], donde [math] P_1 [/ math] y [ matemática] P_2 [/ matemática] son ​​matrices cuyas columnas son vectores propios de [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] asociados con los valores propios enumerados en las matrices diagonales [matemática] \ Lambda_1 [/ matemática] y [matemáticas] \ Lambda_2 [/ matemáticas] respectivamente. Pero [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] tienen los mismos vectores propios, entonces [matemáticas] P_1 = P_2 = P [/ matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] A = P ^ {- 1} \ Lambda_1 P [/ matemáticas] y [matemáticas] B = P ^ {- 1} \ Lambda_2 P. [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] AB = P ^ {- 1} \ Lambda_1 PP ^ {- 1} \ Lambda_2 P = P ^ {- 1} \ Lambda_1 \ Lambda_2 P [/ matemáticas]

y

[matemáticas] BA = P ^ {- 1} \ Lambda_2 PP ^ {- 1} \ Lambda_1 P = P ^ {- 1} \ Lambda_2 \ Lambda_1 P. [/ matemáticas]

Dado que [math] \ Lambda_1 [/ math] y [math] \ Lambda_2 [/ math] son ​​matrices diagonales, conmutan y, por lo tanto, también [math] A [/ math] y [math] B [/ math] últimas dos ecuaciones

Answer 2

Esto es cierto, solo mientras [math] A [/ math] y [math] B [/ math] tengan valores propios distintos . La relación también es una relación si y solo si , lo que significa que va en ambos sentidos.

La respuesta de Jay Verkuilen muestra un camino. Si supone que [math] AB = BA [/ math], y que [math] v [/ math] es un vector propio de [math] A [/ math], entonces [math] Av = \ lambda v [/ math ]

Entonces,

[matemáticas] A (Bv) = (AB) v = (BA) v = B (Av) = B (\ lambda v) = \ lambda (Bv) [/ matemáticas]

Entonces [math] Bv [/ math] es un vector propio de [math] A [/ math] también, y también es un múltiplo escalar de [math] v [/ math], ¿verdad? Entonces podemos decir que

[matemáticas] Bv = \ mu v [/ matemáticas]

mostrando que [math] v [/ math] también es un vector propio de [math] B [/ math].

Answer 3

Debe suponer que las matrices no son defectuosas. Una matriz defectuosa tiene menos de n vectores propios linealmente independientes. Si P es la matriz de vectores propios de A (y de B) y Q es inversa, entonces QAP es una matriz diagonal, D, de valores propios. Entonces A = PDQ. Haga lo mismo con B, entonces B = PKQ. Entonces AB = PDKQ y BA = PKDQ.
Pero DK = KD, así que creo que tienes razón.

Sin embargo, estoy basando esto en la memoria, ¿cuándo es posible la diagonalización? Ciertamente está bien si A y B son simétricos.

Answer 4

Si hay vectores propios [matemáticos] n [/ matemáticos] que son linealmente independientes (supongo que eso es lo que quiere decir), entonces forman una base para cualquier espacio [matemático] A [/ matemático] y [matemático] B [/ matemático] guiarse por. Entonces tome un vector arbitrario en ese espacio y escríbalo como una combinación lineal de los vectores propios de [math] A [/ math] y [math] B [/ math]. Piense en cómo [matemática] A [/ matemática] transforma esta combinación y cómo [matemática] B [/ matemática] la transforma. Debe quedar claro que estas transformaciones conmutan.

Si no hay [math] n [/ math] vectores propios linealmente independientes, entonces [math] A [/ math] y [math] B [/ math] podrían no conmutar. Debería ser posible pensar en un ejemplo [math] 3 \ times 3 [/ math] sin demasiado trabajo.