¿Por qué tantos libros de texto muestran que debemos calcular [math] \ mathrm {det} (A- \ lambda I) [/ math] en lugar de [math] \ mathrm {det} (\ lambda I – A) [/ math] cuando ¿Quiere averiguar el valor propio de la matriz [matemática] A [/ matemática]?

Answer 1

Suponiendo que [math] A [/ math] es una matriz [math] n \ times n [/ math], aquí está la diferencia entre [math] \ det (A- \ lambda I) [/ math] y [math] \ det (\ lambda I – A) [/ matemáticas].

[math] \ det (A- \ lambda I) [/ math] produce un polinomio característico donde el coeficiente de [math] \ lambda ^ 0 [/ math] siempre es positivo.

[math] \ det (\ lambda IA) [/ math] produce un polinomio característico donde el coeficiente de [math] \ lambda ^ n [/ math] siempre es positivo.

En general, [math] \ det (A- \ lambda I) = \ det (\ lambda IA) [/ math] si [math] n [/ math] es par y [math] \ det (A- \ lambda I ) = – \ det (\ lambda IA) [/ math] si [math] n [/ math] es impar. Claramente, cualquiera de las formas es un polinomio que tiene las mismas raíces: los valores propios de [math] A [/ math].

Prefiero la forma [math] \ det (\ lambda IA) [/ math], es decir, con un coeficiente positivo de [math] \ lambda ^ n [/ math]. La otra forma [math] \ det (A- \ lambda I) [/ math] tiene el mérito de que el coeficiente de [math] \ lambda ^ 0 [/ math] es igual al determinante de [math] A [/ math ], mientras que para [math] \ det (\ lambda IA) [/ math], el coeficiente de [math] \ lambda ^ 0 [/ math] es [math] (- 1) ^ n [/ math] multiplicado por el determinante de [matemáticas] A [/ matemáticas], así que entiendo que esto podría ser útil para algunas personas. A cada uno lo suyo, supongo.

Answer 2

Para calcular los valores propios de una matriz [math] \ mathbf {A} [/ math], su objetivo no es calcular el valor del determinante. En cambio, se supone que debes resolver [matemática] \ lambda [/ matemática] fuera de la ecuación

[matemática] \ det \ left (\ mathbf {A} – \ lambda \ mathbf {E} \ right) = 0. [/ math]

Deje que [math] \ mathbf {B} = \ mathbf {A} – \ lambda \ mathbf {E} [/ math] y observe que [math] \ det \ mathbf {B} = (-1) ^ n \ det ( \ mathbf {-B}) [/ math], donde [math] n [/ math] es la dimensión de las matrices consideradas. Entonces sabes que

[matemáticas] \ det \ mathbf {B} = 0 \ Longleftrightarrow \ det (\ mathbf {-B}) = 0. [/ math]

Answer 3

Ambas ecuaciones conducen al mismo resultado.