La pregunta define implícitamente una función
[matemáticas] f (\ vec c) = | \ vec x – \ vec c | [/ matemáticas]
para algún vector constante [math] \ vec x [/ math]. Luego solicita derivados con respecto a [math] \ vec c [/ math] y [math] | \ vec c | [/ math].
Para empezar, vale la pena señalar que es imposible tomar una derivada de esa función con respecto a [math] | \ vec c | [/ math]. Puede valer la pena averiguar por qué ese es el caso.
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Sin embargo, podemos tomar derivadas parciales con respecto a (los componentes de) [math] \ vec c [/ math], que se pueden empaquetar juntas para dar el gradiente con respecto a [math] \ vec c [/ math].
Primero, podemos reescribir la función [math] f [/ math] en términos más manejables al notar que el producto punto de un vector consigo mismo es el cuadrado de la magnitud de ese vector. Entonces,
[matemáticas] f (\ vec c) = \ sqrt {(\ vec x – \ vec c) \ cdot (\ vec x – \ vec c)} \\ = \ sqrt {x ^ 2 + c ^ 2 – f ( \ vec c) = 2 \ vec x \ cdot \ vec c}. [/ math]
Ahora podemos tomar una derivada parcial con respecto a [math] c_i [/ math], el componente [math] i [/ math] th del vector [math] \ vec c [/ math]. A través de la regla de la cadena,
[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial c_i} = \ frac {1} {2f} \ frac {\ partial} {\ partial c_i} \ left (x ^ 2 + c ^ 2 – 2 \ vec x \ cdot \ vec c \ right) \\\ frac {\ partial f} {\ partial c_i} = \ frac {1} {2f} \ left (2 c_i – 2 x_i \ right) \\\ frac {\ partial f } {\ partial c_i} = \ frac {c_i – x_i} {| \ vec x – \ vec c |}. [/ math]
El gradiente es entonces
[matemáticas] \ displaystyle \ vec \ nabla_c | \ vec x – \ vec c | = \ frac {\ vec c – \ vec x} {| \ vec x – \ vec c |}. [/ math]