¿Son los valores propios de las ecuaciones de diferencias finitas para la ecuación de difusión los mismos que los valores propios de sus soluciones continuas?

Answer 1

No, ellos no son. Los más pequeños están bastante cerca de los exactos, pero la mitad superior de ellos, más o menos, están muy apagados.

Sin embargo, los vectores propios a menudo serán “iguales” en el sentido de que los vectores propios discretos, en muchos de los casos fáciles al menos, son muestras de las funciones propias en los puntos de la cuadrícula. Considere, por ejemplo, [math] -y ” = \ lambda y [/ math] en el intervalo de la unidad con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas. Las funciones propias exactas son [matemática] \ sen n \ pi x [/ matemática] para [matemática] n = 1,2, \ puntos [/ matemática]. La aplicación de las aproximaciones de diferencias finitas más simples produce el problema del valor propio de la matriz [matemática] A y = \ lambda_h y [/ matemática], donde la [matemática] N [/ matemática] -por- [matemática] N [/ matemática] matriz tridiagonal [matemática] ] A [/ math] es [math] 2 / h ^ 2 [/ math] en la diagonal y [math] -1 / h ^ 2 [/ math] en las super y sub diagonales, donde [math] h = 1 / (N + 1) [/ matemáticas]. El [math] n [/ math] th eigenvector correspondiente tiene componentes [math] y_i = \ sen n \ pi i / (N + 1) [/ math], es decir, son muestras exactas de las funciones propias correspondientes en la cuadrícula puntos. Sin embargo, los valores propios [math] \ lambda_h [/ math] no serán exactos. (Pero hay una fórmula exacta para ellos).

Answer 2

Para los valores propios de menor valor, los resultados deben ser cercanos, o la ecuación de diferencia finita se ha formulado incorrectamente. Para los valores propios de mayor valor, habrá una divergencia creciente. Esta es una razón por la cual el esquema de integración de tiempo para la ecuación de difusión debe elegirse con cuidado para no excitar estos valores propios de orden superior.