Nunca debe tratar nada como un vector propio si no pertenece al espacio vectorial en el que está operando su operador.
Siempre puede tratar algo como un vector propio si pertenece al espacio vectorial en el que está operando su operador, si no es cero, y satisface [math] Tv = \ lambda v [/ math] donde [math] T [/ math] es su operador, [math] v [/ math] es su vector y [math] \ lambda [/ math] es algo escalar.
Eso es. Eso es todo al respecto.
Ahora, a veces tienes un operador y tienes algo como una función delta de Dirac que realmente quieres usar como un vector propio de ese operador, pero no puedes, porque no está en tu espacio vectorial.
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Su opción más segura es encontrar un mejor espacio vectorial, uno que contenga funciones delta, y extender su operador para actuar en este espacio más grande, y todo está bien. Su opción menos segura es razonar informalmente, pretendiendo que ha hecho el trabajo sin realmente hacer el trabajo, y jugar con expresiones que no están definidas formalmente.
Esto también está bien si tienes experiencia y sentido común. Los físicos tienden a hacer estas cosas con más frecuencia que los matemáticos. Pero cada vez que no esté seguro o tenga problemas, recuerde que las matemáticas nunca le fallarán si define claramente los objetos con los que está trabajando y qué se supone que deben hacer.
Específicamente, para las funciones delta de Dirac, el espacio que desea es el espacio de distribuciones. Las distribuciones son objetos muy agradables y muy naturales que generalizan las funciones ordinarias. Forman un espacio vectorial perfectamente bien definido, y muchos operadores que surgen en física o matemática pura se pueden migrar a operadores que actúan en espacios de distribución. Si su operador es así, hágalo: migrarlo. Si no es así, no lo hagas . Si algo impide que su operador actúe sobre distribuciones, no finja que lo hace.
(En los detalles de la pregunta, usted dijo “Dado que no está en el espacio de Hilbert”. Esa afirmación no tiene sentido porque no existe tal cosa como “el” espacio de Hilbert. ¿Qué espacio de Hilbert? Además, parece estar pensando en el formalismo mecánico de la posición cuántica; este formalismo funciona muy bien incluso sin introducir las funciones delta de Dirac, simplemente analizando las probabilidades de encontrar la partícula en cualquier conjunto medible. Pero si desea incorporar la función delta de Dirac, ciertamente puede hacerlo).