¿Pueden cuatro vectores tridimensionales producir [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math]?

Answer 1

No está del todo claro cuál es su pregunta, pero me parece que está preguntando si tiene cuatro vectores en [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math], ¿pueden abarcar todos los [math] \ mathbf R ^ 4 [/ matemáticas]?

Si esa es tu pregunta, entonces no, no pueden. Todos están en [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math], así que lo que sea que abarquen es un subespacio de [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math].

Si los tres primeros son independientes, esos tres abarcarán [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math], y en ese caso, el cuarto dependerá de ellos e incluirlo no tendrá nada nuevo.

Podría ser que los tres primeros son dependientes y solo abarcan un subespacio apropiado de [math] \ mathbf R ^ 3 [/ math]. Por ejemplo, los tres vectores [matemática] (1,0,0) [/ matemática], [matemática] (0,1,0) [/ matemática] y [matemática] (1,1,0) [/ matemática ] solo abarca el plano xy . El cuarto vector, entonces, si es algo como [matemática] (0,0,1) [/ matemática], podría usarse para abarcar todo [matemática] \ mathbf R ^ 3 [/ matemática]. Pero si el cuarto vector es [matemáticas] (2,3,0) [/ matemáticas], entonces los cuatro juntos solo abarcarían el plano xy .

Para obtener todos [math] \ mathbf R ^ 4 [/ math] al menos uno de los vectores tendrá que tener un valor distinto de cero en su cuarta coordenada.

Answer 2

No. No es posible en absoluto.
Tómalo así:
Para producir R2 necesitas dos vectores bidimensionales que también sean linealmente independientes.
(ejes x e y)
De manera similar para R3, necesita tres vectores independientes tridimensionales.
(ejes x, y y z)
Entonces, para R4 necesitas cuatro vectores de 4 dimensiones.

Dime si eso aclara tus dudas o necesitas más explicaciones.

Answer 3

Claro, solo que no en la forma en que estás pensando.

Deje que sus vectores sean [matemática] v_1, v_2, v_3, v_4 [/ matemática]. Vamos a olvidar todo lo que sabemos sobre ellos; en lo que a nosotros respecta, estos son ahora solo símbolos abstractos.

Ahora, considere el conjunto de “combinaciones lineales” [matemáticas] \ lambda_1 v_1 + \ lambda_2 v_2 + \ lambda_3 v_3 + \ lambda_4 v_4 [/ matemáticas], donde los pesos [matemáticas] \ lambda_1, \ ldots, \ lambda_4 [/ matemáticas ] son ​​números reales. Consideramos que dos elementos de este conjunto son iguales si y solo si todos los pesos [math] \ lambda_1, \ ldots, \ lambda_4 [/ math] son ​​iguales.

Este conjunto es un espacio vectorial real de dimensión 4 y, por lo tanto, es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math].

Observe que ni siquiera comenzó a importar cuáles eran los elementos [math] v_1, \ ldots v_4 [/ math]. Podrían haber sido [matemáticas] \ {0,1,2,3 \} [/ matemáticas]. Podrían haber sido [math] \ {\ text {whale}, \ text {ocelot}, \ text {ostrich}, \ text {penguin} \} [/ math]. Literalmente, todo lo que nos importaba era que eran cuatro elementos que no eran iguales entre sí.

Si desea mantener las relaciones algebraicas entre [math] v_1, \ ldots, v_4 [/ math], entonces, no, es absolutamente imposible usarlas como base para [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], porque cuatro vectores dentro de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] dependen automáticamente linealmente.