¿Qué significa el determinante de una matriz jacobiana?

Answer 1

Es la generalización directa del gradiente (pendiente) de una línea recta. Si tengo una función N dimensional [math] \ vec {y} = \ vec {f} (\ vec {x}) [/ math] en N variables y elijo una entrada con valor vectorial [math] \ vec {x_0} [/ math], entonces el jacobiano me da la aproximación lineal de [math] \ vec {f} [/ math] en la vecindad del punto [math] \ vec {x_0} [/ math]. Ahora supongamos que tomo una pequeña hiperesfera alrededor de [math] \ vec {x_0} [/ math] y quiero medir la relación del tamaño de esa hiperesfera con el tamaño de la hiper-elipse de asistencia en
[matemáticas] \ vec {y} = \ vec {f} (\ vec {x}), \ vec {x} = \ vec {x_0} + \ vec {\ delta}, || \ vec {\ delta} | | \ leq \ epsilon [/ math].
Uno ve fácilmente que esta relación es el determinante del jacobiano. En una dimensión tendríamos y = f (x) y la aproximación lineal (1D jacobiana) es [matemáticas] y (x) -y (x_0) \ aprox [\ frac {df (x)} {dx} | _ { x = x_0}] (x-x_0) [/ matemáticas]. Claramente, el término del lado derecho [] mide cuánto y “crece” o “se contrae” para pequeñas excursiones de x cerca de [matemáticas] x_0 [/ matemáticas]. ¡Confío en que puedas ver por qué esta sería una herramienta útil!

Answer 2

Si bien Bruce Balden tiene razón, el determinante jacobiano tiene usos específicos para describir el comportamiento local de una función a partir de [matemáticas] R ^ n -> R ^ n. [/ math] En este caso:

• si el determinante no es cero en un punto p, la función tiene un inverso en la vecindad de f (p) (y localmente, el inverso se aproxima multiplicando yf (p) por el inverso del jacobiano).
• Si el determinante es positivo en un punto p, la función conserva la orientación en la vecindad de p. Si es negativo, la función invierte la orientación.
• Al realizar un cambio de variable al integrar una función de varias variables, el determinante jacobiano aparece como un factor multiplicativo. Esto a su vez se relaciona con el hecho de que:
• El valor absoluto del determinante jacobiano describe cuánto dilata la función los volúmenes en la vecindad de un punto.

Answer 3

El jacobiano generaliza una derivada, esencialmente mide la cantidad de transformación que ocurre bajo una determinada función. Por ejemplo, si (x, y) es un punto, y (x ‘, y’) es una transformación de (x, y) tal que (x ‘, y’) = J (x, y), entonces J ( x, y) describe cómo se transforma la imagen alrededor (x, y) (fuera de Wikipedia). La mejor manera en que puedo describirlo es una generalización de una derivada. Una aplicación interesante de esto es la integración de funciones multivariadas. Si el jacobiano es una matriz cuadrada, tiene que tener el determinante jacobiano, que se usa para cuando se desea integrar una función en una base diferente, para facilitar la integración. Por ejemplo, si desea integrarse a través de un círculo, generalmente tomaría la integral doble en coordenadas polares. Ir a coordenadas polares es una transformación, y por lo tanto tiene un jacobiano. Cuando nos integramos en coordenadas polares, pegamos una r en la función que estamos integrando, esta r es simplemente el jacobiano de la transformación cartesiana -> polar. Sin embargo, esto puede extenderse a cualquier transformación, si desea calcular la integral de una función de manera diferente, debe agregar el jacobiano de la transformación (así como transformar la integral) antes de integrar.

Answer 4

Dada una función vectorial f de n variables [matemática] x_1, x_2, x_3, .. x_ {n} [/ matemática], la matriz jacobiana tiene componentes, para cada componente vectorial i:

[matemáticas] J_ {i, j} = \ frac {\ partial f_i} {\ partial x_j} [/ matemáticas]

La columna k es la derivada direccional en la dirección de coordenadas [math] x_k [/ math]

En la mayoría de los casos, esta matriz es diagonalizable (no se ofrecen pruebas aquí). En ese caso, podemos cambiar el sistema de coordenadas a uno nuevo donde el efecto local de f es localmente muy simple: multiplicar por los valores propios en los ejes de coordenadas.

El determinante es ahora el producto de los valores propios, en efecto, el producto de las derivadas direccionales en estas direcciones especiales.

Como caso especial, considere otra función g de n variables, como antes, donde podemos escribir [math] g (\ vec {x} [/ math] para agregar los componentes del vector.

Podemos considerar [matemáticas] f (\ vec {x}) = \ nabla g (\ vec {x}) [/ matemáticas]

(f es el gradiente de g)

Entonces, los componentes del jacobiano de f (como antes) ahora son derivadas parciales de g, y si g es suave, entonces el jacobiano será simétrico.

Answer 5

Tienes razón, son equivalentes porque dan la misma área total cuando se integran sobre la región correcta. No es una notación meramente “simbólica”, lo que sea que eso signifique, porque nos permite llevar a cabo cálculos. Supongamos, por alguna razón, que no sabemos cómo integrarnos en coordenadas cartesianas, pero sabemos cómo integrarnos en coordenadas esféricas y sabemos el mapeo desde los diferenciales cartesianos a los diferenciales esféricos a través del jacobiano. Entonces:

No sé: [matemáticas] A = \ int_ {x, y, z} dx dy dz [/ matemáticas]
Saber: [matemáticas] A = \ int_ {r, \ theta, \ phi} (r sin \ theta d \ phi) (rd \ theta) dr = \ int_ {r, \ theta, \ phi} (r ^ 2 sin \ theta) dr d \ theta d \ phi [/ math]
[matemáticas] \ lvert J \ rvert = r ^ 2 sin \ theta [/ matemáticas]

Answer 6