Nada. Sería otro objeto algebraico “interesante”.
En primer lugar, si por transitividad es falsa quieres decir que una relación particular no es transitiva, entonces no tendremos una relación de equivalencia. Todavía podríamos tener una relación reflexiva o simétrica y podemos estudiarlas. Un ejemplo de una relación no transitiva:
Digamos que out set es el conjunto de enteros. Defino una relación [matemáticas] R [/ matemáticas] de la siguiente manera:
[matemática] aRb [/ matemática], es decir, [matemática] a [/ matemática] está relacionada con [matemática] b [/ matemática] si [matemática] a / b = -1 [/ matemática], donde [matemática] a [ / math] y [math] b [/ math] son enteros.
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Ahora claramente, [matemáticas] a / a = 1 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] R [/ matemáticas] no es reflexivo.
Ahora, si [matemáticas] a / b = -1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] b / a = -1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] R [/ matemática] es simétrica.
Pero si [matemática] a / b = -1, b / c = -1 [/ matemática], entonces [matemática] a / c = 1 [/ matemática]. Entonces, [matemática] R [/ matemática] no es transitiva.
Ya tenemos este tipo de cosas. [matemática] R [/ matemática] aquí no es una equivalencia por definición sino una relación.