Un campo es más o menos un objeto matemático en el que puedes hacer la suma, resta, multiplicación y división habituales. Lo que está pidiendo es un campo que solo contenga 3 elementos.
Por definición, cada campo tiene tanto 0 (la identidad aditiva) como (la identidad multiplicativa). Entonces, queremos otro elemento, digamos a, y operaciones +, x, de modo que ({0, 1, a}, +, x) sea un campo. Resulta que hay una manera única de elegir tal a y las operaciones +, x. Cualquier campo de orden 3 debe ser equivalente al campo ({0, 1, 2}, +, x) donde + y x son sumas y multiplicaciones módulo 3. Entonces, 1 + 2 = 0, 2 × 2 = 1, etc. .
En la teoría de conjuntos extremos, estudiamos familias de subconjuntos de un conjunto finito dado que satisfacen ciertas propiedades. Digamos que S es su conjunto de cardinalidad ny F es una familia de subconjuntos de S. Sea T un miembro de F, es decir, un subconjunto de S. Entonces podemos asociar bijetivamente T con una cadena de longitud n que consiste en solo a y b’s. Ponemos b en la posición i-ésima si el elemento i-ésimo de S está contenido en T y a lo contrario. Como cada campo F contiene un 0 y 1, podemos considerar que la cadena es un vector en F ^ n a través del mapa a -> 0, b -> 1. En particular, podemos hacer esto cuando F es el campo de orden 3)
¿Por qué asociamos vectores con miembros de una familia de conjuntos?
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Lo hacemos porque entonces podemos usar herramientas de álgebra lineal para resolver problemas en la teoría de conjuntos extremas. Por ejemplo, podemos demostrar que una familia de subconjuntos de {1, 2, .., n} en la que cada dos elementos se cruzan precisamente en k elementos tiene un tamaño como máximo n mostrando que los vectores 0-1 correspondientes a los miembros de La familia es linealmente independiente. Observe que la condición de que dos subconjuntos S y T se crucen en exactamente k elementos es equivalente a la condición de que el producto escalar de los vectores correspondientes es k, sobre el campo racional Q.
Muchas veces, tales argumentos se mantienen sobre el campo arbitrario F, pero ocasionalmente es conveniente usar un campo de tierra particular. Ver Pruebas de álgebra lineal en combinatoria? y Los orígenes del método de álgebra lineal en combinatoria para más ejemplos y discusión adicional.