¿Hay un operador de matriz que extraiga las entradas de la diagonal principal de una matriz cuadrada?

Answer 1

Estás mapeando desde un espacio de 9 dimensiones a un espacio de 3 dimensiones. Ninguna matriz [matemática] 3 \ veces 3 [/ matemática] puede hacer eso.

Pero piense en M como este vector de columna: [1 2 3 4 5 6 7 8 9]. Entonces esta matriz [matemática] n [/ matemática] por [matemática] n ^ 2 [/ matemática] hará el trabajo.

[matemáticas] \ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 1 y 0 y 0 y 0 y 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ 9 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 5 \\ 9 \ end {bmatrix}} [/ math]

Si está dispuesto a remodelar una matriz en un vector, puede realizar la operación que desee como álgebra lineal ordinaria. (Ordinario excepto para la operación de remodelación).

Alternativamente, podría llamar a la matriz grande de la izquierda “tensor de 3er rango”

[math] \ displaystyle {p_ {ijk}} = [/ math] [math] \ displaystyle {\ begin {cases} 1, i = j = k \\ 0, \ mathrm {else} \ end {cases}}. [/matemáticas]

Entonces puedes escribir la multiplicación de la matriz arriba como

[matemáticas] p_ {ijk} m_ {jk} = d_i [/ ​​matemáticas].

La convención es que sumas los índices que se repiten en un solo término (ver la notación de Einstein). Entonces, la última fórmula dice [math] d_i = \ sum_ {j, k} p_ {ijk} m_ {jk} [/ math]

Sin embargo, esto llega a ser lo mismo, y es menos transparente si aún no ha hecho tensores. Qué tensores vienen con muchos otros equipajes que no son necesarios para este problema.

Answer 2

• No hay una matriz del mismo tamaño que proporcione los elementos diagonales como se desee. Pero si insiste en obtener una matriz (de cualquier orden), puede seguir el interesante método sugerido por Tom McNamara, que puede modificarse de la siguiente manera: suponga que tiene una matriz nxn A y desea obtener una matriz de columna E de m elementos (tomado de las posiciones especificadas de A). {Por ejemplo, si tiene que obtener elementos diagonales, las posiciones en A son (1,1), (2,2), (3,3), … (n, n).}. Primero exprese A como una matriz de columna (digamos) C de longitud n ^ 2 escribiendo los elementos de la primera fila seguidos de los elementos de la segunda fila y así sucesivamente. Ahora construya una matriz B de tamaño mxn ^ 2 de la siguiente manera: Si (i, j) es la posición en A del primer elemento de E, entonces la primera fila de B se puede construir tomando una fila de n ^ 2 ceros donde n. (i – 1) + la posición j se reemplaza por 1. Si la posición del segundo elemento de E en A es (h, k), entonces la segunda fila de E es una fila de n ^ 2 ceros donde el n . (h-1) + k th elemento se reemplaza por 1. Procediendo así, podemos construir m filas de B. Tenga en cuenta que cada fila de B tiene un solitario 1 y (n ^ 2 – 1) ceros. Podemos verificar fácilmente que B. C = E. En su ejemplo, las filas de B son r (1) = (1,0,0,0,0,0,0,0,0), r (2) = ( 0,0,0,0,1,0,0,0,0), r (3) = (0,0,0,0,0,0, 0,0,1).