En el libro de texto de Serge Lang, ¿cómo prueba el teorema fundamental del álgebra?

Answer 1

Me temo que ha encontrado una de las debilidades pedagógicas de la forma en que los teoremas matemáticos se “perfeccionan”. Los textos matemáticos, en la medida en que siguen el “proporcionar alguna motivación (tal vez), establecer un teorema, probarlo, comentar, repetir” paradigma, tienden a dar una falsa impresión de la forma en que se realizan las matemáticas “difíciles” / nuevos resultados descubierto, que en realidad es un montón de “jugar”, “prueba y error”, y el descubrimiento de patrones poco sistemáticos se realiza hasta que uno tiene confianza en una conjetura, y luego se hace mucho más hasta que uno descubre una prueba o llega con un contraejemplo. Pero todo ese “trabajo temporal”, tan útil desde el punto de vista pedagógico como podría ser imprimir, solo haría un texto ya costoso aún más al agregar páginas matemáticamente innecesarias. El resultado es el ocasional (a veces frecuente) “conejo sin sombrero”, en el que uno se enfrenta a uno o más pasos que evidentemente permiten que la prueba tenga éxito, pero deja al lector rascándose la cabeza preguntándose dónde demonios esa “magia” ” vino de. A veces, estos “trucos” resultan tener una razón para enseñar (por ejemplo, sumar y restar lo mismo para que uno realmente agregue cero), pero a veces esta razón es más avanzada que el nivel del resultado / prueba, y a veces simplemente es “mágico”, en la medida en que es algo que el descubridor / primer probador descubrió que “simplemente funciona”. Entonces, a medida que uno avanza en matemáticas, uno aprende a guardar estos pequeños (o a veces grandes) “trucos de magia”, para tenerlos a su disposición cuando sea necesario. En otras palabras, a veces cosas como estas sustituciones oscuras y específicas tienen un origen enseñable, pero a veces la prueba en sí misma es esta lección, y los “trucos” en ella son tanto lo que hay que quitar como el resultado mismo. (Nota adicional: hay otras pruebas de la FToA – Gauss lo consideró tan importante que dio cuatro de ellas en el transcurso de su vida. Si encuentra que la prueba dada es difícil de digerir, le animo, y creo que Serge también lo haría –Para buscar y aprender algunos de los otros: es posible que uno o más de ellos sean más fáciles de digerir, y en cualquier caso, si Gauss considera que es lo suficientemente importante como para entenderlo desde cuatro perspectivas diferentes, entonces, probablemente, debería hacerlo usted; Estoy seguro de que Serge lo hizo).

Answer 2

Si fueras ese estudiante brillante, serías tan afortunado de preguntarle a ti mismo. De lo contrario, cualquier evaluación que las personas hagan son interpretaciones en tercera persona. Sin embargo, parece un teorema digno. Espero que lo entiendas.