Las coordenadas polares no son una combinación lineal de vectores básicos.
Las coordenadas polares (y las coordenadas cartesianas) son formas de mapear pares de números a puntos en un plano. El plano, en este caso, no es un espacio vectorial, por lo que no hay necesariamente ningún vector base.
Es posible asociar un espacio vectorial con el plano, en cuyo caso tiene una opción de bases para usar, si lo desea.
Para las coordenadas cartesianas, es conveniente utilizar vectores unitarios “alineados” con el eje cartesiano como base. Son ortonormales, y es fácil calcular los vectores de desplazamiento basados en las coordenadas.
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Esto no es tan fácil con coordenadas polares.
Sin embargo, lo que se hace y generaliza a otros sistemas de coordenadas es usar las coordenadas de un punto para definir una base “natural” para un espacio vectorial asociado en ese punto (teóricamente, los diferentes puntos obtienen diferentes espacios vectoriales). En cuyo caso, los vectores base son tangentes a las curvas constantes del sistema de coordenadas (por ejemplo, en coordenadas polares, la base en el punto [math] (r_0, \ theta_0) [/ math] tiene un vector tangente al círculo [ math] r = r_0 [/ math], el otro vector tangente a la línea [math] \ theta = \ theta_0 [/ math]).
Para un sistema de coordenadas cartesianas, todas estas bases diferentes en cada punto son idénticas, por lo que no tendemos a pensar en ello. Para un sistema de coordenadas polares, todos rotan en comparación entre sí. Incluso es conveniente si no todos son vectores unitarios.
Personalmente, siento que hay confusión aquí debido a dos usos diferentes de la palabra “coordinar”.