¿Por qué el álgebra lineal se llama ‘lineal’?

Answer 1

Esta es una gran pregunta porque la palabra “lineal” es confusa y también fundamental, no solo porque el álgebra lineal es un tema bien entendido al que los matemáticos intentan reducir otros problemas **, sino porque la noción de un morfismo que preserva las propiedades ( homomorfismo ) es fundamental para el lenguaje matemático superior.

En los seminarios a los que asisto, la gente generalmente comienza escribiendo: aquí hay algunos objetos, aquí hay algunas propiedades que se supone que deben obedecer; Aquí hay transformaciones que preservan esas propiedades y, por lo tanto, nos dan relaciones entre los miembros. [John Baez ha señalado que las personas que piensan de esta manera a veces se olvidan de asegurarse de que el supuesto mundo tenga algún miembro, antes de seguir adelante e inferir cosas interesantes sobre estos casos hipotéticos].

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Las transformaciones lineales (cizalladura, rotación, reflexión y ampliación / contracción centrada) no distorsionan mucho las cosas, pero permiten una diferencia suficiente para dar como resultado formulaciones equivalentes pero más fáciles de un problema (cambio de base o isomorfismo a una versión más fácil del lo mismo), por ejemplo, la respuesta de Alon Amit a ¿Por qué querríamos transformar las coordenadas de un vector a otra base? ¿Hay ejemplos de la vida real en los que esto sea necesario?

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“Lineal” en el sentido de álgebra lineal no significa del todo líneas [matemáticas] y = mx + b [/ matemáticas].

• La [matemática] b [/ matemática] es siempre [matemática] b = 0 [/ matemática]
• [math] x [/ math] puede ser multidimensional, lo que significa que respondemos preguntas sobre planos e hiperplanos (a través del origen), así como líneas tradicionales
• [math] m [/ math] será una matriz en lugar de un escalar (número único). Esta es una gran, gran diferencia. Cómo multiplicar matrices

• Debido a que las matrices hacen un seguimiento de tantas interacciones, el álgebra lineal tiene un valor práctico Mi respuesta a ¿Cuál es el punto del álgebra lineal?

El álgebra lineal en realidad trata no solo hiperplanos multidimensionales, sino también vectores abstractos, es decir, “cosas que se pueden agregar”.

Esa denotación subsume cosas de dimensiones infinitas como el color (la luz, que es una onda, tiene infinitos lugares donde podría moverse = ser diferente = variar), cardiogramas (nuevamente los latidos del corazón producen sonidos que son formas de onda) … —- así como espacios vectoriales topológicos (incluida la idea de Lev Vygotsky de la zona de desarrollo próximo en la educación de los niños, así como un modelo económico de comercio http://www.emanuelderman.com/med… – nb, Derman se opone a ello )

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La concepción abstracta de lineal es lo suficientemente grande como para cubrir tipos muy diferentes de conceptos:

• adición repetida de una constante [matemática] mx + b [/ matemática] por ejemplo, [matemática] 0 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 [/ matemática] (← allí [matemática] b = 0; m = 4; x = 7 [/ matemáticas])
• operador lineal acotado (fotos de Dauger Research: aplicación Atom in a Box)

• el operador derivado en [math] C ^ {\ infty} [/ math] funciones de mapeo, por ejemplo ℂ → ℂ
• multiplicación repetida por una constante [matemática] C \ cdot e ^ {k \ cdot t} [/ matemática], por ejemplo [matemática] 100 \ cdot 1.02 \ cdot 1.02 \ cdot 1.02 \ cdot 1.02 \ cdot 1.02 [/ matemática] ( ← allí [matemáticas] C = 100; k = \ ln 1.02; t = 5 [/ matemáticas])
• rotación (multiplicación repetida por una matriz con determinante 1 y no la matriz de identidad)

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Escribí varias publicaciones de blog sobre esto:

• ¿Por qué las rotaciones son lineales?
• Aquí hay una razón físicamente intuitiva que … • formas, figuras y formas
• http://isomorphism.es/post/11407…
• (y puedes revisar mi etiqueta lineal completa, así como las publicaciones Space (para una palabra confusa pero fundamental relacionada, ¿Qué es un mapa de “preservación de la estructura”? y solía ser como el ingeniero en el chiste sobre 4- Teorías de D Kaluza-Klein

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Si quieres ir más allá en la dirección de la belleza , te recomiendo buscar en Google Teoría de la representación (matemáticas). Donde el álgebra lineal se vuelve realmente interesante en mi opinión es menos la dirección de Álgebra Homológica que la dirección ADE. Visite el sitio web de John Baez para una buena introducción a ADE, luego el libro de José Montesinos Tessellations of 3-manifolds (Danny Calegari tiene un curso sobre él) y Polytopes regulares de Coxeter.

Si desea ir más allá en la práctica , lea acerca de la Descomposición del valor singular y varias otras factorizaciones matriciales (incluida la detección comprimida).

(Mis sugerencias / opinión)

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** ejemplos de otras matemáticas que reducen, utilizan o se relacionan con el álgebra lineal:

• nudos: creo que los nudos son la categoría menos lineal (aunque no he pensado mucho en esto, por ejemplo, no podría establecer una propiedad categórica que realmente encapsule la “linealidad” o “lo opuesto a la linealidad”. hmm.) , pero casi seguro que en algún momento escuché a alguien decir “y a partir de ahí es solo álgebra lineal”. Las relaciones de madeja de Conway son lineales (son morfismos) en nudos.
• EL ÁLGEBRA HOMOLÓGICO es técnicamente un subconjunto de álgebra lineal: solo mira el núcleo,

• (^ imagen del núcleo), dimensión, teorema de nulidad de rango, cosas así, pero porque el álgebra homológica no requiere la condición de “línea recta”

• (a través de un sudoku de funcionales lineales) y simplemente imponiendo las condiciones de “linealidad” del origen y las cosas que se mapean en el origen, homológico es más flexible y se aplica en más lugares.
• el álgebra lineal sobre campos finitos se vincula a ¿Cuál es la diferencia entre álgebra, álgebra lineal y álgebra abstracta? y eventualmente eso se unirá a http://jmilne.org/math/CourseNot…

Answer 2

El álgebra lineal es el estudio y análisis de mapas lineales. Los mapas lineales son los mapas que tratan un punto como si fuera una lista de coordenadas, y lo transforman multiplicando cada coordenada por una constante (generalmente diferente). Puede diferenciarlos de los mapas afines (que a veces también se llaman “lineales” en el álgebra de la escuela secundaria) porque siempre asignan el origen a sí mismo. (¡Cero veces cualquier cosa sigue siendo cero!)

Los “mapas lineales” se llaman así porque la única operación involucrada es la multiplicación de coordenadas por constantes. Un mapa lineal unidimensional es aquel en el que una variable única se multiplica por una constante. Cuando dicho mapa se representa gráficamente en un plano cartesiano, produce una línea a través del origen. Esta es la intuición metafórica que da origen al nombre.

Sin embargo, los mapas lineales 1-D no representan todas las líneas (para eso necesita mapas afines), ni todos los mapas lineales son representables por líneas. En particular, el álgebra lineal no establece límites en el número de dimensiones que una función lineal podría mapear. Un mapa lineal 2D está representado por un plano a través del origen. Un mapa lineal nD se representa como un hiperplano nD a través del origen. Ninguna de estas cosas son líneas , per se, pero son el producto cartesiano de las líneas , razón suficiente para que metafóricamente nos refiramos a ellas como lineales.

Answer 3

Los espacios vectoriales se cierran bajo combinaciones lineales, y las asignaciones (interesantes) entre ellos conservan combinaciones lineales.

Answer 4

La versión concisa: ¡son las transformaciones estudiadas (los mapeos, típicamente representados por productos de vectores de matriz) que son lineales! que ya abre un vasto campo de estudio, muy rico.

Pero no todo es lineal, en “álgebra lineal” también se trata mucho con normas, o normas al cuadrado, con productos internos que son bi-lineales, no lineales en función de las dos entradas que entran en ellos, aunque si mantiene una entrada fija, el producto interno resultante funcional se vuelve lineal en la otra entrada que puede variar. Entonces, este producto interno funcional es otra “cosa” lineal en álgebra lineal.

Los espacios vectoriales en sí, tienen una linealidad incorporada, forman elementos como combinaciones lineales de elementos básicos,

Así que arriba, por favor encuentre tres elementos lineales en álgebra lineal.

(Voy a partir al asignarle un ejercicio HW: ¿Es lineal la multiplicación de matrices? Si no, ¿cómo puede redefinirla o restringirla para que sea lineal?)

Answer 5

Una “línea” es abstractamente solo un sistema para hacer álgebra (a menudo un anillo conmutativo, especialmente un campo). Esta vista se utiliza en manipulaciones categóricas de geometría algebraica, así como en topología algebraica (los conjuntos de líneas complejas ciertamente no “parecen” como si tuvieran una línea sobre cada punto).

La idea es que una vez que haya elegido una “línea”, puede construir estructuras más complicadas (módulos o espacios vectoriales si trabaja sobre un campo) pegando un montón de líneas en su origen, la identidad aditiva y luego completar todo de manera apropiada para que tenga una operación de suma conmutativa para elementos del nuevo objeto (vectores o elementos del módulo).

La linealidad es capturada convencionalmente por la expresión [matemática] T (ax + by) = aT (x) + bT (y) [/ math]. El significado filosófico de esta expresión es que preserva la estructura de un espacio lineal, que es una configuración para escalar vectores por valores en la “línea” y agregar vectores juntos. El álgebra lineal en características positivas, por ejemplo, no se ve ni se siente geométricamente lineal en absoluto, ya que la “línea” se parece mucho más a un círculo. La linealidad es fundamentalmente la preservación de la escala y la adición de vectores, y la etiqueta es un artefacto del álgebra lineal sobre los campos ordenados .

Answer 6

La ecuación general de una línea (en 2 dimensiones) es [math] ax + by = c [/ math], e incluso en varias dimensiones puede parametrizar una línea mediante una serie de expresiones como [math] a_0x_0 + b_0t = c_0, a_1x_1 + b_1t = c_1, \ dots, a_nx_n + b_nt = c_n [/ math]. Como tal, los términos con una sola potencia de una variable (p. Ej., [Math] ax [/ math] o [math] por [/ math], pero no [math] xy [/ math] se denominan “términos lineales”, ya que son los términos que encuentras en ecuaciones para líneas.

Una “combinación lineal” o “expresión lineal” es la suma de un montón de términos lineales, como [matemática] 4x + 5y + 7z-45w [/ matemática]. Ese ejemplo es una combinación lineal de cuatro variables.

Una “ecuación lineal” es una ecuación que solo tiene términos lineales (más, quizás, términos constantes). [matemáticas] 3x + 5y + 2z = 3 [/ matemáticas] es una ecuación lineal, aunque gráficamente describe un plano plano.

El álgebra lineal es (en parte) el estudio de ecuaciones lineales y cómo resolverlas. Es una restricción de álgebra que puede involucrar muchas variables, pero no más que términos lineales.

El álgebra lineal se ocupa de las “transformaciones lineales”, que ocurren cuando se realizan sustituciones de variables en una expresión lineal, donde cada variable antigua se reemplaza por una combinación lineal de las nuevas variables. Se puede demostrar que una transformación lineal, como [math] T (v) [/ math], posee la propiedad de que para cualquier [math] v, u [/ math], la transformación de una combinación lineal es la combinación lineal de transformar, es decir, [matemáticas] T (av + bu) = aT (v) + bT (u) [/ matemáticas]. De hecho, con otros supuestos básicos en álgebra lineal, esa propiedad es todo lo que necesita para mostrar que una función es una transformación lineal, por lo que la propiedad de las funciones se llama “linealidad”.

He usado “lineal” un montón aquí, todo vinculado con álgebra lineal, y todo se vincula a la expresión general de una línea: [math] ax + by = c [/ math]. Es por eso que el álgebra lineal usa el término “lineal”.

Answer 7

Hay un par de formas de responder esa pregunta.

Una respuesta fácil de entender, pero no muy perspicaz, es que el álgebra lineal es el estudio de las matrices. Casi cualquier pregunta que pueda hacer sobre matrices es una pregunta de álgebra lineal. (También puede ser una pregunta de otra cosa, pero sea lo que sea, también es una pregunta de álgebra lineal).

Entonces, puede preguntarse si ciertas ecuaciones matriciales se pueden resolver (y si es así, cómo), o si existen ciertas matrices que tienen una determinada propiedad (y cómo encontrar esas matrices), o qué diversas formas se pueden considerar dos matrices similar en algún contexto, o cómo uno puede reescribir una matriz dada para que cierta información sea explícitamente aparente … esas son todas preguntas de álgebra lineal.

Con un poco más de comprensión, el álgebra lineal es el estudio de las cosas lineales. Una “cosa lineal” se llama más exactamente una transformación lineal … llámela T. ¿Qué la hace lineal? Primero, llamemos a la colección de cosas que transforma “vectores”. Entonces, si x es un vector, T (x) es un vector transformado. La palabra “vector” connota que estas cosas se pueden escalar … así que si x es un vector, cx es otro vector cuando c es un escalar.

¿Qué lo hace lineal? Tiene la propiedad de que T (x + y) = T (x) + T (y), y que T (cx) = cT (x).

No hemos dicho mucho sobre qué es T o qué puede ser x, y o c. Sin embargo, quizás notablemente, ya podemos decir mucho sobre las transformaciones lineales. No voy a decir esas cosas aquí … eso es lo que hay en un libro de texto de álgebra lineal. Pero quizás ya pueda tener una idea de la amplia aplicabilidad del álgebra lineal a partir de mis comentarios: simplemente especificando una propiedad muy natural, ya podemos llenar un libro de texto con cosas útiles.

Answer 8

Porque el álgebra lineal trata con ecuaciones lineales; Las ecuaciones lineales se llaman lineales porque son la representación matemática de una línea. En otras palabras, una ecuación lineal, cuando se traza, da lugar a una línea.