El vector cero no tiene magnitud ni dirección. ¿Por qué es incluso un vector? ¿Qué significa ser un vector sin tener magnitud y dirección?

Answer 1

Si cualquier vector tiene magnitud cero, no significa que no tiene dirección.

Definimos un vector como un objeto con una longitud y una dirección. Sin embargo, hay una excepción importante para los vectores que tienen una dirección: el vector cero, es decir, el vector único que tiene longitud cero. Sin longitud, el vector cero no apunta en ninguna dirección en particular, por lo que tiene una dirección indefinida.

Denotamos el vector cero con una negrita

0 [matemática] 0 [/ matemática], o si no podemos hacer negrita, con una flecha

0 → [matemáticas] 0 → [/ matemáticas]. Se comporta esencialmente como el número 0. Si sumamos

0 [matemática] 0 [/ matemática] a cualquier vector

a [matemáticas] a [/ matemáticas], obtenemos el vector

a [matemáticas] a [/ matemáticas] de nuevo sin cambios.

Para un número dado de dimensiones, solo hay un vector de longitud cero (lo que justifica referirse a este vector como el vector cero). Sin embargo, obtenemos un vector cero diferente dependiendo de cuántas dimensiones estamos tratando. En términos de componentes, el vector cero en dos dimensiones es

0 = (0,0) [matemática] 0 = (0,0) [/ matemática], y el vector cero en tres dimensiones es

0 = (0,0,0) [matemática] 0 = (0,0,0) [/ matemática]. Si nos sentimos aventureros, ni siquiera necesitamos detenernos con tres dimensiones. Si tenemos un número arbitrario de dimensiones, el vector cero es el vector donde cada componente es cero.

¡¡entonces sí!! Es significativo llamarlo un vector.

Answer 2

Por definición de espacio vectorial, debe tener un conjunto V dotado de dos operaciones; uno que toma dos vectores (u y v en V) y da como resultado un vector, generalmente llamado suma y denotado u + v; y otro que toma un número a en K un campo, un vector u en V, lo que resulta en un vector denotado av y se llama producto escalar de a y v. Estas dos operaciones deben satisfacer ciertas propiedades. Con respecto a la suma, debe existir un elemento neutral, digamos n en V, de modo que n + v = v + n = v. Aquí utilicé n para neutral, pero este es nuestro conocido vector cero. La cuestión es que la idea de magnitud y dirección solo se cumple cuando piensas en vectores con forma de flecha. Pero el concepto de espacios de vetor (sobre un campo K, probablemente siempre ha usado el campo R de números reales) es mucho más general. Entonces, por ejemplo, las matrices resultan ser vectores, y el vector nulo en este caso es la matriz nula; aquí no tiene sentido hablar de magnitud o dirección. El vector cero será simplemente aquel vector que es el elemento neutral para la suma definida en el espacio citado. Para una comprensión más profunda, debe ver cualquier libro de álgebra lineal de pregrado.

Answer 3

Desterremos, por un momento, el vector cero de nuestro conjunto de vectores.

Ahora tome un vector distinto de cero [math] v [/ math] y agréguelo al vector [math] -v [/ math].

¿Qué obtenemos?

No podemos realizar la adición de este vector a menos que introduzcamos el vector cero en la mezcla. Entonces esta es una de las razones, si no la razón principal, por qué un vector cero es esencial.

Answer 4

Si no llamó al vector cero “un vector”, no podría haber dicho “se pueden agregar dos vectores”. Tendría que decir “se pueden agregar dos vectores, excepto si son de igual magnitud y dirección opuesta”. No podría haber dicho “cualquier vector puede multiplicarse por cualquier escalar”, habría tenido que excluir el escalar [matemática] 0 [/ matemática].

No podría haber dicho “dados dos vectores [math] \ mathbf {u} [/ math] y [math] \ mathbf {v} [/ math], hay un vector único [math] \ mathbf {w} [ / math] de modo que [math] \ mathbf {u} + \ mathbf {w} = \ mathbf {v} [/ math] “, porque habría sido necesario excluir el caso en el que los dos vectores dados son iguales.

No podría haber dicho “cualquier punto [math] (x_1, \ ldots, x_n) [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] corresponde a un vector que va desde el origen hasta ese punto . ”Su conjunto de vectores espaciales sería espacio menos un punto, elegido arbitrariamente como el origen.

Todo eso habría sido incómodo, molesto, difícil de conceptualizar, difícil de recordar y carente de simetría y estructura.

Por lo tanto, elegimos adoptar un enfoque mucho más coherente y permitir que los vectores tengan una magnitud [matemática] 0 [/ matemática]. Esto hace que la definición de vectores y espacios vectoriales sea limpia, completa y útil.

Answer 5

¡¡¡¡eso es obvio!!!!

¿qué tal cero (escalar)?
¿Qué pasa si uno dice que:
cero no tiene valor
¿Por qué lo usamos entonces?

de manera similar, el vector cero (vector nulo) se usa para cálculos vectoriales
y es muy esencial en vectores !!!!

Answer 6

Bueno, depende de cómo se defina un vector. Si define un vector desde un punto de vista de física pura, es decir, dirección y magnitud, no tiene sentido llamar a un vector cero un vector.

Sin embargo, ¿qué pasa si te digo que un vector ni siquiera es una flecha, sino un solo punto que se ha ampliado? Los vectores son puntos que se amplían y dependen estrictamente de las dimensiones en las que se encuentran o en el fondo. Los vectores realmente no existen, las transformaciones sí, y son esas transformaciones las que hacen que los puntos aparezcan como vectores.

Por lo tanto, los vectores cero solo pueden considerarse como un espacio euclidiano fijo de fondo.

Answer 7

¡Hola! Gracias por el A2A 🙂

Tienes razón; usualmente definimos un vector como un objeto con una longitud (magnitud) y una dirección. Sin embargo, hay una excepción importante para los vectores que tienen una dirección: el vector cero, es decir, el vector único que tiene longitud cero. Sin longitud, el vector cero no apunta en ninguna dirección en particular.

El vector cero se comporta esencialmente como el número [math] 0 [/ math]. Si lo agregamos a cualquier otro vector, obtenemos ese otro vector sin cambios.

Para un número dado de dimensiones, solo hay un vector de longitud cero (lo que justifica referirse a este vector como el vector cero). Sin embargo, obtenemos un vector cero diferente dependiendo de cuántas dimensiones estamos tratando. En términos de componentes, el vector cero en dos dimensiones es

[matemáticas] 0 = (0,0) [/ matemáticas]

y el vector cero en tres dimensiones es

[matemáticas] 0 = (0,0,0) [/ matemáticas].

En realidad, no necesitamos limitarnos a tres dimensiones. Si tenemos una dimensión arbitraria [matemática] n [/ matemática], el vector cero único para esa dimensión es el vector donde cada uno de los componentes [matemática] n [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática].

La conclusión es que el vector cero es una definición . ¿Por qué necesitamos definirlo en primer lugar? Porque es una noción central en álgebra cuando se manipulan conceptos como grupos, espacios vectoriales o anillos. En este contexto, se llama elemento de identidad para sumar.

Aquí hay un video al punto sobre cero vectores que podría ayudar a comprender mejor el concepto:

Salud,

Mella

Answer 8

Si un número tiene magnitud cero, sigue siendo un número. Es útil ya que un número queda claro por su uso en un número decimal. 100 es cien, no hay decenas y nadie. Los ceros tienen un significado importante, un uso que es consistente con los otros números del 1 al 9.

Un ejemplo de un vector útil es como un punto en el campo. Un campo puede considerarse como un mapa de la fuerza y ​​la dirección de una fuerza, como una fuerza eléctrica. En algunos lugares, la intensidad del campo es cero, como sería el punto intermedio entre dos esferas idénticas con cargas idénticas. No tendría sentido tener “agujeros” en un campo vectorial donde permitir un valor cero lo haría continuo.

Answer 9

Gracias por A2a

Considere estas dos declaraciones:

A = “el número de galones en un tanque de gasolina vacío”

B = “el número de galones en un segundo ligero”

Es A = B? ¡Exactamente! No son lo mismo. ¿Por qué? Porque A = cero y B = el conjunto vacío.

Estas no son lo mismo, ni siquiera cerca.

Zero es un número dominante que gana nuestra admiración y respeto. Es tan especial que tiene sus propias reglas (todo excepto cero tiene un inverso cualquier número multiplicado por cero es igual a cero).

En contraste, el conjunto vacío es lo que los matemáticos llaman cosas que no tienen sentido. A diferencia del cero, las tonterías y, por lo tanto, el conjunto vacío, merecen nuestra burla de desprecio y desprecio.

Su pregunta es un ejemplo clásico de asumir A = B. ¿Por qué? Considere el caso unidimensional simple. Entonces el vector cero se convierte en el número cero. -0 = 0. En otras palabras, el número cero tiene magnitud cero y cualquier signo (dirección) que elijamos para darle.

Lección: siempre intente un caso especial de su afirmación. ¡El 99% de las veces esto pondrá a prueba tus ideas lo suficiente como para romper las malas!

Answer 10

Una de las formas más simples y posiblemente más intuitivas de aceptar la noción de vector cero es: “Visualice 2 equipos involucrados en un juego de tira y afloja, cada uno tirando de la cuerda hacia sí mismo aplicando fuerzas de igual magnitud (digamos 10 N), ahora responda a la pregunta: ¿CUÁL ES LA FUERZA RESULTANTE que actúa sobre una cuerda? VECTOR CERO “. ¡Así es como nuestro profesor de física a nivel escolar nos presentó el concepto de vector cero en 1979!

Answer 11

¿Es interesante aceptar la idea de ‘cero’ en nuestros términos cotidianos para números que significan ‘nada’ o ‘ninguno’ tan fácilmente, pero extender esto a los vectores no tiene sentido? En el mundo real, hablamos de números, así que si tengo 2 manzanas y tomas 2, no tengo ninguna, matemáticamente 0. Ahora si tengo una fuerza sobre un objeto (un vector) de 10 unidades a la derecha, y otro Quedan 10 unidades, es lo mismo que el escenario de las manzanas. Fuerza neta cero, matemáticamente el vector cero.

El panorama general aquí es a menudo veces, el ‘cero’, ya sea el vector cero, el número cero, la matriz cero, sirve como la ‘identidad aditiva’.

Esto significa que podemos agregarlo a cualquier elemento y devolver el mismo elemento

Def:

si a + e = a = e + a, entonces e es el ‘cero’.

La razón por la que se necesita una identidad aditiva puede variar desde la construcción de un espacio vectorial, hasta un grupo, etc. ¡Entonces son matemáticamente importantes!

Answer 12

“Algo con una magnitud y una dirección” es enfáticamente la definición incorrecta de vector. ¿Cuál es la dirección de [math] f (x) = x ^ 2 [/ math] en el espacio vectorial de funciones suaves de valor real de una sola variable real?

El concepto de magnitud y dirección está bien al principio para construir cierta intuición cuando comienzas a pensar en los vectores como “flechas”, pero la definición correcta es que un vector es un elemento de algún espacio vectorial. Se requiere que cada espacio vectorial tenga un elemento de identidad, un “cero”, por eso 0 es un vector. Lo mismo para (0,0) y (0,0,0) y etc.

Answer 13

Es un vector por la misma razón que el número 0 es un número, porque los espacios vectoriales deben cerrarse en operaciones vectoriales. Sin el vector cero, ¿cómo lidiaría con la adición de dos vectores con la misma magnitud y dirección opuesta? ¿Qué sucede si está escribiendo la velocidad de un objeto que se mueve en dos dimensiones? Ciertamente, el objeto está en reposo, es decir, velocidad cero, es un estado realista en el que se encuentra el objeto. Finalmente, si está tratando a los vectores como conjuntos de números, entonces un conjunto compuesto completamente por ceros debería ser un vector tan bueno como cualquier otra matriz

En cuanto a lo que significa no tener magnitud y dirección, bueno, significa exactamente eso. Volviendo al objeto en movimiento, sin magnitud significa que el objeto no se está moviendo y, dado que no se está moviendo, no puede decir que se está moviendo en una dirección específica más de lo que puede decir en qué dirección un punto (es decir, un segmento de línea de longitud 0) apunta hacia adentro. Incluso si quisiera elegir una dirección, cualquier dirección es tan buena como cualquier otra dirección porque, a falta de longitud, el vector cero es completamente simétrico (como un punto en el espacio).

Answer 14

El vector cero no es un vector. No tiene dirección.

Sin embargo, el vector cero es algo matemático y se define como un vector con magnitud cero y sin dirección.

Lo cual no tiene sentido, de una manera contradictoria. Pero … bienvenido a las matemáticas modernas, donde otras declaraciones ya hechas tienen que ser válidas sin importar lo que cueste.

Excepto, por supuesto, simplemente no llamarlo vector cero y llamarlo de otra manera, y definirlo con sensatez. Demasiado trabajo.

Answer 15

Si un número es cero, ¿sigue siendo un número?

Lo que un vector cero no tiene es “dirección”, o quizás una mejor manera de decirlo es que apunta en todas las direcciones a la vez, con longitud cero.

Answer 16

El conjunto de todos los vectores puede formar un campo. Un campo es un anillo conmutativo. Debe tener identidad aditiva y multiplicativa. Mientras que la identidad multiplicativa es 1, la identidad aditiva debe ser 0. Es por eso que requerimos el vector 0.

Alguien corríjame si me equivoco, ha pasado un tiempo desde que estudié álgebra lineal 🙂

Answer 17

Sí, ciertamente es significativo vector con magnitud cero un vector porque ya tiene magnitud cero y, al mismo tiempo, sus puntos iniciales y terminales coinciden entre sí y tiene una dirección arbitraria (es decir, puede tener cualquier dirección) y por la definición de vector sabemos que cualquier cantidad que tenga magnitud y dirección es vector, por lo que también lo es. un vector

Answer 18

Considere el caso básico de los vectores: desplazamiento.

Si te digo ‘Este auto fue 50 km al este’ es un vector. La idea de un automóvil yendo a 50 km al este de donde comenzó tiene sentido como un vector, ¿verdad?

¿Y qué pasa si el auto no va a ninguna parte? Bueno, eso también es un vector. Podemos imaginar la idea del desplazamiento 0, si un automóvil no va a ninguna parte. No necesitamos saber dónde comenzó, para entender la noción de que termina donde comenzó.

Del mismo modo, podemos imaginar un automóvil dando vueltas alrededor de una pista de carreras y luego volviendo a su espacio de estacionamiento original. Podemos ver fácilmente que lo que hizo fue una suma de desplazamientos, pero todos esos desplazamientos sumados, para dar su desplazamiento total, lo pusieron de nuevo donde comenzó.

De manera similar, podemos pensar en un objeto con velocidad cero, fuerza neta cero, momento angular cero y todo tipo de cantidades de vectores que representan la idea de no movimiento, cambio o finalización desde el comienzo.

Por lo tanto, el vector cero existe, y a menudo puede representar alguna forma de estasis en la realidad.

Answer 19

Respuesta corta: eso es una simplificación excesiva.

Respuesta un poco más larga: el vector cero es especial y no tiene una dirección porque no la necesita.

Respuesta aún más larga: ir “un metro de esa manera” es un vector válido. Del mismo modo, ir “a ninguna parte” es un vector válido. Parece extraño que podamos describir cualquier vector de desplazamiento, excepto no ir a ninguna parte, por lo que incluimos “ir a ninguna parte”, es decir, el vector cero. Los vectores solo requieren una dirección en la medida en que tienen que recorrer una longitud, lo que hace que el vector cero sea una excepción a la regla de los vectores como magnitud y dirección.

Answer 20

Por un lado, existe la necesidad de una identidad aditiva que proporcione el vector cero. Por otro lado, hay otras entidades que pueden tratarse como vectores que no se ajustan al formato de magnitud y dirección. Tendría que sacar un libro de texto para recordar los detalles, ya que no he tocado la mayor parte del álgebra lineal en mucho tiempo.