No lo es Hay muchos mapas conformes que no son transformaciones de Mobius; de hecho, cualquier función holomórfica es conforme en todos los puntos donde su derivada es distinta de cero. Y, por supuesto, el mapa [math] z \ mapsto \ overline {z} [/ math] no es una transformación de Mobius, pero es conforme.
Lo que es cierto es que cualquier automorfismo suave, conforme, que preserva la orientación de la esfera de Riemann debe ser una transformación de Mobius.
Para mostrar esto, primero demuestre que cualquier mapa liso, conforme y que preserva la orientación es holomorfo. Puede hacer esto mirando la matriz jacobiana de su mapa.
Después de eso, debe demostrar que cualquier automorfismo holomórfico del plano complejo tiene la forma [math] z \ mapsto az + b [/ math]. Puede recordarlo mediante una aplicación inteligente del teorema de Liouville.
- ¿Es posible tener un campo vectorial no conservador [math] \ vec {F} [/ math] con algunos (pero no todos) caminos cerrados [math] c_i [/ math] tal que [math] \ oint \ limits_ { c_i} \ vec {F} \ cdot d \ vec {s} = 0 [/ math]?
- ¿Se pueden representar todas las funciones lineales en un espacio vectorial como productos internos con diferentes vectores?
- En álgebra lineal, ¿hay identidades de conmutador que sean independientes de la identidad de Jacobi?
- ¿Son idénticas las funciones inversas y los problemas inversos?
- Cómo encontrar valores propios y vectores propios del polinomio f (A)
Con eso, puede concluir que cualquier automorfismo holomórfico de la esfera de Riemann es [math] z \ mapsto \ frac {az + b} {cz + d} [/ math], lo que demuestra la afirmación.