Cómo encontrar valores propios y vectores propios del polinomio f (A)

Answer 1

Tomemos un ejemplo de polinomio:

[matemáticas] f (A) = a A ^ 2 + b A + c [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que si [math] A [/ math] es una matriz cuadrada de tamaño [math] n [/ math], entonces [math] f (A) [/ math] también es una matriz cuadrada de tamaño [math] n [ /matemáticas]. – (1)

Sea [math] v [/ math] un vector propio de [math] A [/ math] con el valor propio correspondiente igual a [math] \ lambda [/ math].

Entonces, por definición,

[matemáticas] Av = \ lambda v [/ matemáticas]

Ahora considere f [matemáticas] (A) v [/ matemáticas] (Tenga en cuenta que esta es una cantidad válida de acuerdo con (i).)

[matemáticas] f (A) v = a A ^ 2 v + b A v + cv [/ matemáticas]

[matemáticas] = a A (Av) + b (Av) + cv [/ matemáticas]

[matemáticas] = a A (\ lambda v) + b (\ lambda v) + cv [/ matemáticas]

[matemáticas] = a \ lambda (A v) + b \ lambda v + cv [/ matemáticas]

[matemáticas] = a \ lambda ^ 2 v + b \ lambda v + cv [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a \ lambda ^ 2 + b \ lambda + c) v [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] v [/ math] es también el vector propio de [math] f (A) [/ math] con el valor propio correspondiente [math] a \ lambda ^ 2 + b \ lambda + c [/ math].

Claramente esto se generaliza inmediatamente a cualquier polinomio arbitrario.

Answer 2

resuelva la ecuación det (A- (lamda) I) = 0 donde A es la matriz, I es la matriz de identidad y lamda es la variable que estamos resolviendo.
esto dará dos respuestas para lamda, que son nuestros valores propios 🙂

Luego, toma uno de los valores propios y súbelo a la matriz para lamda, usando la ecuación anterior.
Coloque la matriz en fila-escalón y si todo es correcto, la fila inferior se convertirá en ceros. es decir:
a b
0 0
ahora encuentre los valores x e y tales que a = -b. Estos valores corresponden al vector propio. Por ejemplo, digamos que la matriz en forma escalonada de fila (con el primer lamda subtitulado) viene
1 2
0 0
entonces x = -2 e y = 1
(tenga en cuenta que hay una cantidad infinita de respuestas para las cuales todas son correctas, pero es mejor encontrar los números naturales más pequeños para representar x e y)
entonces el vector propio arriba es:
-2
1
repita esto para el otro valor para lamda que encontramos (el otro valor propio) y encontrará su vector propio correspondiente.