¿Es posible tener un campo vectorial no conservador [math] \ vec {F} [/ math] con algunos (pero no todos) caminos cerrados [math] c_i [/ ​​math] tal que [math] \ oint \ limits_ { c_i} \ vec {F} \ cdot d \ vec {s} = 0 [/ math]?

Answer 1

¡Seguro!

Considere, por ejemplo, un campo vectorial donde [math] \ vec F = F_0 \ hat y [/ math] (para algunas constantes distintas de cero [math] F_0 [/ math]) siempre que [math] x \ geq 0 [/ matemáticas], pero es cero en otra parte.

Cualquier ruta que comience y termine en el origen y nunca pase a través de valores negativos [matemáticos] x [/ matemáticos] tendrá una integral integral de cero; más específicamente, restringido a tales rutas, existe un potencial independiente de la ruta que es una función solo de [math] y [/ math]. Sin embargo, si la ruta incluye valores negativos [matemáticos] x [/ matemáticos], ya no se garantiza una integral de ruta cero; cualquier movimiento neto en la dirección [matemática] \ hat y [/ matemática] mientras que [matemática] x <0 [/ matemática] dará como resultado una integral de ruta distinta de cero, porque está cambiando efectivamente el valor del potencial discutido anteriormente "gratis" (es decir, sin contribuir a la ruta integral).

Answer 2

Los casos triviales en los que la integral sobre un campo no conservativo es cero son 1) la ruta se reduce a un punto, 2) se vuelve sobre sí misma (si está dispuesto a aceptar esto dentro de su definición de ruta cerrada).

Un ejemplo bien conocido de un campo no conservativo es la fricción sobre una superficie rugosa. Pero si alguna parte de la superficie no tiene fricción, hay algunos caminos cerrados que son conservadores.