¿Se pueden representar todas las funciones lineales en un espacio vectorial como productos internos con diferentes vectores?

Answer 1

Sí, aunque su afirmación es imprecisa.

En un espacio vectorial general no existe la noción de “producto interno”, por lo que ni siquiera tiene sentido preguntar si cada funcional lineal corresponde a un producto interno con algún vector.

Un espacio vectorial con un producto interno se llama espacio interno del producto, y en general todavía no es cierto que cada funcional lineal en un espacio interno del producto sea representable como el producto interno con un vector fijo.

Esta afirmación es cierta en el caso que importa en la mecánica cuántica, que es cuando el espacio es un espacio de Hilbert . Este es un espacio interno del producto que también se completa con respecto a la topología inducida por el producto interno.

Para los espacios de Hilbert existe, de hecho, un isomorfismo entre los funcionales lineales continuos y el espacio mismo. Esta es la esencia del teorema de representación de Riesz.

Answer 2

Si. Para espacios vectoriales de dimensiones finitas, es fácil de probar. El producto interno proporciona un mapa desde el espacio de vectores hasta el espacio de funciones lineales. Este mapa es inyectivo, y el dominio y el objetivo tienen la misma dimensión, por lo que el mapa también es sobreyectivo, es decir, cada función lineal está representada por el producto interno con algún vector.

Para los espacios de Hilbert, la prueba es un poco más complicada, pero sigue siendo cierto que cada función lineal puede ser representada por el producto interno con algún vector. Este resultado se llama teorema de representación de Riesz.

Answer 3

Resulta que no es demasiado restrictivo.

Debido al teorema de representación de Riesz, todos estos mapas lineales se pueden escribir de esta manera.