Primero, necesitamos formalizar un poco la pregunta.
¿Qué significa ser una “identidad de conmutador”? Dado que saca el álgebra lineal, supongo que estamos trabajando en el contexto de álgebras matriciales, por lo que una “identidad de conmutador” sería una identidad que involucra la suma de matrices y conmutadores (pero no la multiplicación de matriz “en bruto”) que se mantiene en cada álgebra de matriz , es decir, cada subálgebra F de [math] \ operatorname {End} _F (V) [/ math], donde F es un campo y V es un espacio de vector F de dimensión finita.
Un álgebra de Lie, por definición, es un objeto matemático que satisface la identidad de Jacobi, por lo que podemos decir que una identidad es “una consecuencia de la identidad de Jacobi” si se mantiene en cada álgebra de Lie.
Si tomamos un álgebra matricial A y recordamos la operación de suma y conmutación, pero no la multiplicación, entonces nos queda un álgebra de Lie [matemática] A_L [/ math], el álgebra de Lie asociada a A. Decimos que tal Lie álgebra es una matriz Lie algebra.
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Entonces, en esencia, la pregunta que hacemos es esta:
¿Existe una identidad que se mantenga en cada álgebra de Lie de matriz, pero no en cada álgebra de Lie?
No sé cómo responder a este problema de inmediato, pero puedo dar una respuesta breve a una pregunta similar:
¿Existe una identidad que se mantenga en cada álgebra de Lie de matriz compleja, pero no en cada álgebra de Lie compleja de dimensión finita?
La respuesta a esta pregunta es “no”, por la sencilla razón de que no hay álgebras de Lie complejas de dimensiones finitas distintas de las álgebras de Lie de matriz; Este es el teorema de Ado. De hecho, el teorema de Ado es válido para cualquier campo cero característico, por lo que puede reemplazar “complejo” por “real” aquí si lo desea.
Sospecho que la respuesta es la misma en general, pero hay dos cosas por las que preocuparse:
- ¿Puedes escribir una identidad que sea verdadera para cada álgebra de Lie de dimensión finita, pero que falle en una de dimensión infinita? (¡Seguramente no!)
- ¿Qué sucede en las características positivas, es decir, sobre campos finitos y sus extensiones? (¡No tengo idea!)