Gracias por el A2A.
Deje que [math] n [/ math] sea el grado de [math] f [/ math] y [math] V_n [/ math] sea el espacio del vector [math] \ mathbb {Q} [/ math] de polinomios de grado menor que [math] n. [/ math] La dimensión de [math] V_n [/ math] es [math] n. [/ math]
Considere [math] n + 1 [/ math] monomials [math] x ^ {p_1}, \; x ^ {p_2}, \ ldots, x ^ {p_ {n + 1}}, [/ math] donde [math] p_1, p_2, \ ldots, p_ {n + 1} [/ math] son arbitrariamente distintos [math ] n + 1 [/ math] números primos.
Considere sus restos módulo [matemáticas] f [/ matemáticas]. Son elementos [math] n + 1 [/ math] de [math] V_n [/ math] y, por lo tanto, son linealmente dependientes. Por lo tanto, hay [math] a_1, a_2, \ ldots, a_ {n + 1} \ in \ mathbb {Q} [/ math] (no cero simultáneamente) de modo que [math] h (x) = a_1x ^ {p_1} + a_2x ^ {p_2} + \ ldots + a_ {n + 1} x ^ {p_ {n + 1}} [/ math] es divisible por [math] f. [/ math] Claramente, al borrar los denominadores, podemos suponga que [math] a_1, a_2, \ ldots, a_ {n + 1} \ in \ mathbb {Z}. [/ math]
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Por lo tanto, [math] g [/ math] es el cociente de [math] h [/ math] por [math] f. [/ Math] Escala [math] h [/ math] por un factor entero adecuado también podemos suponer que [math] g \ in \ mathbb {Z} [x] [/ math] si es necesario.