La derivada de la función exponencial es la función exponencial en sí misma, multiplicada por una constante, es decir, d (A exp (kx)) / dx = Ak exp (kx). Diferenciar repetidamente y lo mismo se aplica, pero con mayores poderes de k. Por lo tanto, si sustituye exp (kx) en una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes, obtendrá una ecuación algebraica para k. Si la ecuación es de orden n, la ecuación es de grado ny tiene n soluciones. (Esto solo se aplica a la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.) En general, estos son complejos, k = a + ib, y se pueden reemplazar por soluciones trigonométricas, A exp ((a + ib) x) = A exp (ax ) (cos (bx) + i sen (bx)) que es una oscilación armónica amortiguada si a 0.
Esa es la respuesta a la pregunta. A continuación se brinda más información sobre la interpretación y ecuaciones lineales más generales.
A menudo es útil escribir A = P + iQ. Entonces (P + iQ) (cos (bx) + i sin (bx)) tiene una parte real Pcos (bx) – Qsin (bx) = R cos (bx + q) donde R = sqrt (P ^ 2 + Q ^ 2 ), cos (q) = P / R y sin (q) = Q / R. La parte imaginaria es Psin (bx) + Qcos (bx) = R sin (bx + q).
Puede agregar soluciones a ecuaciones diferenciales lineales, por lo que la solución general es una suma de la forma A exp (kx) + B exp (cx) +…, donde k, c, etc. son las soluciones de la ecuación algebraica. En la mayoría de los casos prácticos, los números imaginarios desaparecen debido a las condiciones iniciales.
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Para una ecuación no homogénea, resuelva la ecuación homogénea relacionada (elimine el término que implica x y no y). Luego agregue una solución particular de la ecuación original. Esta es la parte difícil. En algunas aplicaciones, por ejemplo, circuitos eléctricos o vibraciones de una estructura, la integral particular es la solución asintótica de estado estacionario y la integral general es un efecto transitorio y desaparece siempre que no haya perturbaciones. Entonces, cuando un automóvil pasa por un puente, las vibraciones desaparecen a menos que haya otra perturbación. El ingeniero debe asegurarse de que, en k = a + ib, a <0 o el puente colapsará (o vibrará tanto que la aproximación de la ecuación lineal se rompa, por ejemplo, parte de la estructura se extiende más allá de su límite elástico).
Si los coeficientes son funciones de x, no es necesario que se aplique lo anterior. Esto es mas dificil. A veces, un cambio de variable puede trabajar la ecuación en el caso del coeficiente constante.