Cero es positivo semidefinido pero no positivo definido. Por lo tanto, el producto de cero y cualquier otra matriz semidefinida positiva no será definitivo positivo. Del mismo modo, puedo tomar matrices de bloques
(A 0)
(0 B)
uno de los cuales tiene A = 0 y B semidefinido positivo, el otro B = 0 y A semidefinido positivo. El producto no será definitivo positivo.
Entonces, ¿cómo podemos verificar si el producto de dos matrices semidefinidas positivas es positivo definido? Usemos los principales menores. Considerar
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(AB) (EF)
(CD) (GH)
que produce la matriz
(AE + BG AF + BH)
(CE + DG CF + DH)
Por lo tanto, det (AE + BG) debe ser positivo. Por simplicidad, consideremos solo las matrices complejas. Entonces, puedo elegir una base tal que
(EF)
(GH)
está en su forma normal de Jordania, es decir, G = 0 y det (AE) tiene que ser positivo. Pero nuestras suposiciones
det (A)> = 0
det (E)> = 0
implica det (AE)> = 0 con det (AE)> 0 si y solo si tanto det (A) como det (E) son positivos. En otras palabras, para que el producto fuera positivo definido, ambas matices tenían que ser positivas definidas (siempre que fueran al menos semidefinidas positivas)