No. Suponga que [matemática] M [/ matemática] como arriba es una matriz semidefinida positiva de orden [matemática] n [/ matemática] y rango [matemática] r \ geq 2. [/ matemática]
Entonces uno puede elegir [math] r [/ math] filas linealmente independientes, digamos [math] k_1, k_2, \ ldots, k_r [/ math]. Como [math] M [/ math] es simétrico, las columnas [math] r [/ math] [math] k_1, k_2, \ ldots k_r [/ math] correspondientes también son linealmente independientes. Además, estos conjuntos de filas y columnas de [math] M [/ math] se encuentran en la submatriz principal [math] r \ times r [/ math] [math] M_r. [/ Math]
Este es un hecho bastante estándar de que [math] M_r [/ math] no es singular.
Para aquellos que lo dudan, permítanme recordar una prueba de esto:
Al permutar filas y columnas podemos WLOG asumir que [math] M_r [/ math] está ubicado en la esquina superior izquierda de [math] M [/ math].
Supongamos ahora que [math] M_r [/ math] es singular. Luego tiene filas linealmente dependientes. Así, haciendo una transformación lineal de las filas de [math] M [/ math] podemos lograr que una de las filas, digamos, la primera fila de [math] M_r [/ math] sea cero. Pero dado que las primeras columnas [matemáticas] r [/ matemáticas] permanecen linealmente independientes después de la transformación de las filas en el paso anterior, cada una de las columnas restantes [matemáticas] nr [/ matemáticas] es una combinación lineal de las primeras [matemáticas] r [/ matemáticas] columnas. En consecuencia, la primera fila de [math] M [/ math] debe ser cero. Esto es una contradicción con el hecho de que las primeras filas [matemáticas] r [/ matemáticas] son linealmente independientes. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
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Al ser no singular, [matemática] M_r [/ matemática] es claramente una matriz positiva definida de rango [matemática] r [/ matemática] ya que puede considerarse como la restricción de [matemática] M [/ matemática] al subespacio lineal de dimensión [ matemáticas] r. [/ matemáticas]
Sin embargo, [math] M_r [/ math] es una matriz de la misma forma que [math] M [/ math], por lo tanto, uno obtiene una contradicción obvia con el criterio de Sylvester para la esquina superior izquierda de 2 x 2, vea también Can a ¿Matriz cuadrada simétrica con cada entrada diagonal igual a 1 y cada entrada fuera de diagonal igual a [matemática] \ pm 1 [/ matemática] ser positiva definida?
Si no le gusta el criterio de Sylvester, puede seguir fácilmente una contradicción del teorema del producto Schur: el producto Hadamard (es decir, el producto de entrada) de [math] M_r \ circ M_r [/ math] es una matriz de rango [math] 1 [/ math] (por lo tanto, no es positivo definido), mientras que [math] M_r [/ math] está por lo tanto en contradicción con el teorema del producto de Schur.