Bien, déjame entrar y responder esta pregunta.
En primer lugar, algo de terminología. Voy a suponer que las entradas de la matriz [matemáticas] A [/ matemáticas] son reales. En ese caso, [math] A ^ TA [/ math] se llama matriz de Gram (a veces llamada Gramian o Grammian ) de las columnas de [math] A [/ math].
Ahora, hay bastantes buenas propiedades que la matriz de Gram [matemáticas] A ^ TA [/ matemáticas] comparte con [matemáticas] A [/ matemáticas], y otras que hacen que sea más fácil de usar que [matemáticas] A [/ matemáticas] es. Por un lado, [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] A ^ TA [/ matemáticas] tienen el mismo rango. Esto es bastante agradable, especialmente cuando considera las siguientes dos propiedades de [math] A ^ TA [/ math]:
- [matemática] A ^ TA [/ matemática] es una matriz cuadrada ([matemática] A [/ matemática] podría no ser cuadrada) y
- [matemáticas] A ^ TA [/ matemáticas] es una matriz semidefinida positiva.
De hecho, [matemática] A ^ TA [/ matemática] es semidefinida positiva siempre que [matemática] A [/ matemática] no tenga rango de columna completo. Si [math] A [/ math] tiene rango de columna completo, entonces podemos hacerlo mejor: [math] A ^ TA [/ math] es positivo definitivo.
- ¿Qué significa si algo está cerrado bajo suma, multiplicación y multiplicación escalar? Estoy luchando por comprender estos conceptos. ¿Hay otra manera de pensar en ellos?
- Deje que [math] f (x) \ neq 0 [/ math] sea un polinomio en [math] \ mathbb {Z} [/ math]. ¿Cómo veo que existe un polinomio distinto de cero [matemática] g (x) [/ matemática] tal que [matemática] f (x) g (x) [/ matemática] solo tiene exponentes primos?
- ¿Por qué usamos determinante para encontrar el polinomio característico de una matriz?
- Cómo explicar la importancia del álgebra a un alumno de 5to grado de una manera fácil
- ¿Por qué es [math] || Ax || ^ 2 = (Ax) ^ T (Ax)? [/ Math]
Alternativamente, podemos decir lo anterior de la siguiente manera:
Las columnas de [math] A [/ math] son linealmente independientes si y solo si [math] A ^ TA [/ math] es una matriz definida positiva si y solo si [math] A ^ TA [/ math] tiene un valor distinto de cero determinante.
En cuanto a un significado físico, aquí hay uno. Si las columnas [math] n [/ math] de [math] A [/ math] se tratan como vectores, entonces el determinante de [math] A ^ TA [/ math] es el volumen de [math] n [/ paralelogramo dimensional] matemático, que es una generalización de un parallograma bidimensional y un paralelogramo tridimensional, a dimensiones superiores. Si observamos [math] A ^ TA [/ math] de esta manera, ahora podemos entender mejor por qué este volumen (determinante) sería cero si las columnas de [math] A [/ math] son linealmente dependientes.