¿Qué significa si algo está cerrado bajo suma, multiplicación y multiplicación escalar? Estoy luchando por comprender estos conceptos. ¿Hay otra manera de pensar en ellos?

Answer 1

Considere el conjunto [math] X \ subseteq U [/ math] y [math] x, y \ in X [/ math], y considere la operación [math] *: U \ times U \ to U [/ math].

Traducción: considere este conjunto [math] X [/ math], que es un subconjunto de un conjunto posiblemente más grande [math] U [/ math]. Los objetos [matemática] x, y [/ matemática] están en [matemática] X [/ matemática] (porque [matemática] X \ subseteq U [/ matemática], se deduce que también [matemática] x, y \ en U [/ matemáticas]). La operación [math] * [/ math] toma pares de elementos de [math] U [/ math] (es decir, elementos de [math] U \ times U [/ math]) y devuelve elementos de [math] U [ /matemáticas].

Decimos que [math] X [/ math] está cerrado bajo [math] * [/ math] if [math] x * y \ in X [/ math] por cada [math] x, y \ in X [/ math ]

Traducción: la salida de [math] * [/ math] operando en [math] x [/ math] y [math] y [/ math] es un elemento de [math] U [/ math], recuerde. Entonces, si la salida de esta operación en cualquiera de los dos elementos de [math] X [/ math] también es un elemento de [math] X [/ math], entonces decimos que [math] X [/ math] está cerrado bajo [ matemáticas] * [/ matemáticas].

Algunos ejemplos:

1. Deje que [math] X = \ {0,1,2 \} [/ math] y que [math] * [/ math] sea la suma [math] + [/ math]. Vemos que [matemáticas] 1 + 1 = 2 \ en X [/ matemáticas], y [matemáticas] 0 + x = x \ en X [/ matemáticas] para cada [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas], pero [matemáticas] 1 + 2 = 3 \ not \ en X [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 + 2 = 4 \ no \ en X [/ matemáticas]. Entonces [math] X [/ math] no se cierra con la suma.
2. Deje que [math] X = \ {0,1,2 \} [/ math] y que [math] * [/ math] sea el módulo de suma 3. Como antes, [math] 0 + x = x \ in X [/ matemática] por cada [matemática] x \ en X [/ matemática] y [matemática] 1 + 1 = 2 \ en X [/ matemática]. Pero ahora [matemáticas] 1 + 2 = 3 \ equiv 0 \ mod 3 [/ matemáticas]. Esto está en [matemáticas] X [/ matemáticas]. También tenemos [matemáticas] 2 + 2 = 4 \ equiv 1 \ mod 3 [/ matemáticas]. Esto también está en [matemáticas] X [/ matemáticas]. Entonces [math] X [/ math] está cerrado bajo el módulo de adición 3.
3. Deje [math] X = \ {0, 1, 2, 3, \ dots \} [/ math] y deje que [math] * [/ math] sea multiplicación [math] \ times [/ math]. Es fácil comprobar que [math] X [/ math] está cerrado en [math] \ times [/ math], porque los enteros positivos multiplicados por enteros positivos también son enteros positivos.
4. Deje que [math] X = \ {- 1,0,1,2,3, \ dots \} [/ math] y que [math] * [/ math] sea multiplicación [math] \ times [/ math]. Podemos ver fácilmente que [math] -1 \ times 2 = -2 \ not \ in X [/ math], por lo que en este caso [math] X [/ math] no está cerrado bajo multiplicación.

Algunos ejercicios simples: Dado lo siguiente [matemática] X [/ matemática] y [matemática] * [/ matemática], ¿está [matemática] X [/ matemática] cerrada bajo [matemática] * [/ matemática]? Si [math] X [/ math] está cerrado bajo [math] * [/ math], entonces debe demostrar que la operación de [math] * [/ math] utilizando elementos de [math] X [/ math] nunca puede producir un elemento fuera de [math] X [/ math]. Sin embargo, si [math] X [/ math] no está cerrado bajo [math] * [/ math] es suficiente producir un solo contraejemplo.

1. Deje que [math] X = \ {0, \ pm 2, \ pm 4, \ pm 6, \ dots \} [/ math] (todos los enteros pares), y que [math] * [/ math] sea la suma [ matemáticas] + [/ matemáticas].
2. Deje [math] X = \ {0, \ pm 2, \ pm 4, \ pm 6, \ dots \} [/ math] (todos los enteros pares), y deje que [math] * [/ math] sea multiplicación [ matemáticas] \ veces [/ matemáticas].
3. Deje [math] X = \ {\ pm 1, \ pm 3, \ pm 5, \ dots \} [/ math] (todos los enteros impares), y deje que [math] * [/ math] sea la suma [math] + [/ matemáticas].
4. Deje [math] X = \ {\ pm 1, \ pm 3, \ pm 5, \ dots \} [/ math] (todos los enteros impares), y deje que [math] * [/ math] sea multiplicación [math] \ veces [/ matemáticas].
5. (Ligeramente complicado) Deje [math] X = \ mathbb {R} [/ math] (los números reales) y deje que [math] * [/ math] sea la división [math] \ div [/ math]. (Sugerencia: recuerde que aunque no hay un número real con una magnitud mayor, cada número real es finito).
6. ¡Piense en sus propios ejemplos y vea si puede probar el caso de cualquier manera!

Conceptos más avanzados: la multiplicación por un escalar implica que está trabajando con objetos “más grandes”, como vectores y matrices, que no son escalares. El significado de un conjunto cerrado bajo una operación es el mismo, sin importar el conjunto o la operación. En el caso de algo con una interpretación geométrica, es útil pensar en lo que sucede geométricamente bajo cada operación, aunque recuerde que la interpretación geométrica es simplemente un trampolín hasta que se vuelve fluido en el lado algebraico de probar cosas. Parafraseando a John von Neumann solo un poco: en matemáticas no entiendes las cosas, solo te acostumbras a ellas.

Pero con fluidez viene un grado de intuición (o un sentido de comprensión). A veces solo se necesita tiempo y práctica repetitiva para llegar allí.

Answer 2

Si un conjunto se cierra mediante la suma y la multiplicación y luego se le dan dos elementos del conjunto, A y B, [matemáticas] A \ veces B [/ matemáticas] y [matemáticas] A + B [/ matemáticas] están en el conjunto. Además, si está cerrado bajo la multiplicación escalar A, multiplicado por un número real también está en el conjunto.

Para que esto funcione, obviamente, la suma, la multiplicación y la multiplicación escalar deben definirse para todos los miembros del conjunto.