¿Cómo se muestra que si [math] \ {v_1, v_2, v_3 \} [/ math] es linealmente independiente, entonces también lo es cada subconjunto?

Answer 1

Considere el conjunto de [math] n [/ math] vectores linealmente independientes [math] \ {v_1, v_2, \ ldots, v_n \} [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math], donde [math] n \ leq m [/ math] (esta es una condición necesaria para que sean independientes, de todos modos).

Considere un subconjunto de estos vectores, a saber, [math] \ {v_1, \ ldots, v_k \} [/ math], donde [math] k \ leq n [/ math]. Sabemos que [math] c_1 v_1 + c_2 v_2 + \ cdots + c_n v_n = 0 [/ math], y dado que [math] \ {v_1, v_2, \ ldots, v_n \} [/ math] es independiente, [math ] c_1 = c_2 = \ cdots = c_n = 0 [/ math].

Ahora podemos hacer un truco y reescribir esta ecuación como [matemáticas] c_1 v_1 + c_2 v_2 + \ cdots + c_k v_k + 0 v_ {k + 1} + 0 v_ {k + 2} + \ cdots + 0 v_n = 0 [ / math], donde [math] c_1 = c_2 = \ cdots = c_k = 0 [/ math] también. Si limitamos la información que conocemos, podemos decir que [matemática] c_1 v_1 + \ cdots + c_k v_k = 0 [/ matemática] SOLO tiene la solución trivial [matemática] c_1 = \ cdots = c_k = 0 [/ matemática], y entonces el subconjunto [math] \ {v_1, \ ldots, v_k \} [/ math] TAMBIÉN es linealmente independiente por definición.

El pequeño desafío es probar esto para CUALQUIER subconjunto finito del conjunto original, no solo para los que puede enumerar los índices (pista: puede reordenar los elementos del conjunto para que se ajusten a los índices y demostrar que este argumento se cumple en general por extensión) .

Answer 2

Entonces, cuando tenemos una familia de vectores lineales independientes [math] (v_i) _ {i \ in I} [/ math] con [math] I [/ math] como Indexset. [matemática] J [/ matemática] es un subconjunto finito arbitrario de [matemática] I. [/ matemática]

Eso significa:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {j \ in J} \ lambda_kv_j = 0 \ Rightarrow \ lambda_j = 0 [/ math]

Es la definición general de independencia lineal.

De eso se deduce que para [matemáticas] K \ subconjunto I [/ matemáticas]

[math] (v_k) _ {k \ in K} [/ math] también es una familia lineal independiente de vectores, como [math] J \ subconjunto K [/ math] con [math] J [/ math] finito entonces [ math] J [/ math] también es un subconjunto finito de [math] I [/ math] y también debe cumplir con la definición de independencia lineal.

Answer 3

Esto me resulta más natural al probar el contrapositivo: que si un conjunto B de vectores es linealmente dependiente, entonces cualquier conjunto de vectores que contenga B es linealmente dependiente.

Suponga que B es un conjunto de vectores linealmente dependientes, [matemática] v_1, …, v_n: \ existe c_1, …, c_n [/ matemática] no todos cero, de modo que [matemática] c_1v_1 + … + c_nv_n = 0 [/ matemática]. Ahora deje que C sea un conjunto de vectores que contiene B, algo así como [matemáticas] v_1, …, v_n, v_ {n + 1}, …, v_k [/ matemáticas], luego multiplique cada uno de los vectores adicionales por 0, y use La combinación no trivial para los originales. Ahora tenemos que C no es linealmente independiente, como se desea.

Answer 4

Si tiene una dependencia entre algunos de los vectores en un conjunto, debería poder traducir fácilmente eso en una dependencia entre todos ellos. Recuerde que solo necesita algunos de los coeficientes para que no sean cero.