Cómo llegar a la fórmula con la que calcula el producto cruzado

Answer 1

Derivar la fórmula del producto cruzado no es difícil. Está demostrando que es un vector, esa es la parte difícil. El producto cruzado no es un vector real . Se llama vector solo porque se comporta como un vector, bajo transformaciones de coordenadas.

Considere un vector de longitud [math] r [/ math] con coordenadas cartesianas [math] (xy) [/ math] que se rota a través de un ángulo [math] \ theta [/ math] (en radianes) en [math] xy [/ math] plano. ¿Cuál es el desplazamiento horizontal de su punta?

Se puede mostrar mediante trigonometría que es:

[matemática] \ Delta x = -r \, \ theta \ cdot (y / r) = – y \, \ theta [/ math]

Del mismo modo, el desplazamiento vertical de la punta viene dado por:

[matemáticas] \ Delta y = + x \, \ theta [/ matemáticas]

Ahora considere, el producto punto de este vector con otro vector. Por ejemplo, si [math] F [/ math] es un vector de fuerza, entonces el trabajo realizado está dado por:

[matemáticas] \ Delta W = F_x \, ​​\ Delta x + F_y \, \ Delta y. [/ matemáticas]

Sustituyendo las fórmulas por los desplazamientos horizontal y vertical, obtenemos:

[matemáticas] \ Delta W = (xF_y-yF_x) \ theta. [/ matemáticas]

El término entre paréntesis es el equivalente rotacional de fuerza – par:

[matemáticas] \ tau_i = x_iF_ {yi} -y_iF_ {xi} [/ matemáticas]

Ahora, si aplicamos los mismos principios a los planos [math] yz [/ math] y [math] zx [/ math], los pares en estos planos están dados por

[matemáticas] \ tau_ {xy} = xF_y-yF_x \\\ tau_ {yz} = yF_z-zF_y \\ \ tau_ {zx} = zF_x-xF_z [/ math]

El torque [matemático] xy [/ matemático] y [matemático] yz [/ matemático] actúa desde el eje [matemático] x [/ matemático] al eje [matemático] y [/ matemático] y el eje [matemático] y [/ matemático] al eje [matemático] z [/ matemático] respectivamente (ambos en sentido antihorario). Por lo tanto, son positivos. El par [matemático] zx [/ matemático] actúa desde el eje [matemático] z [/ matemático] al eje [matemático] x [/ matemático] (en el sentido de las agujas del reloj). Por lo tanto, es negativo.

El par es, por lo tanto, un producto de dos vectores. El resto de esta publicación examinará si es un escalar o si podemos asignar un vector como propiedad a este producto.

¿Es el torque un escalar o un vector?

Ahora para verificar, si estos tres escalares se pueden agrupar como un vector, necesitamos verificar cómo se comportan estos escalares bajo transformaciones de coordenadas . Una de las propiedades definitorias de un vector es que se transforma de la misma manera que los ejes de coordenadas.

Supongamos que el plano [matemático] xy [/ matemático] gira alrededor del eje [matemático] z [/ matemático] en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático]. Entonces, obviamente, el componente [math] z [/ math] de cualquier vector seguirá siendo el mismo, mientras que los componentes [math] x [/ math] y [math] y [/ math] cambiarán. Vamos a comprobar este comportamiento para los tres escalares anteriores:

Deje que los nuevos pares sean:

[matemáticas] \ tau_ {x’y ‘} = x’F_ {y’} – y’F_ {x ‘} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tau_ {y’z ‘} = y’F_ {z’} – z’F_ {y ‘} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tau_ {z’x ‘} = z’F_ {x’} – x’F_ {z ‘} [/ matemáticas]

Las nuevas coordenadas están relacionadas por:

[matemáticas] x ‘= x \ cos \ theta + y \ sin \ theta, \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= y \ cos \ theta-x \ sin \ theta, \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] z ‘= z [/ matemáticas]

Debido a que la fuerza es un vector, se transforma en el nuevo sistema de la misma manera que [math] x [/ math], y, y [math] z [/ math],

[matemáticas] F_ {x ‘} = F_x \ cos \ theta + F_y \ sin \ theta, \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] F_ {y ‘} = F_y \ cos \ theta-F_x \ sin \ theta, \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] F_ {z ‘} = F_z [/ matemáticas]

Si estos se sustituyen en la fórmula para los pares, obtenemos:

[matemáticas] \ tau_ {x’y ‘} = (x \ cos \ theta + y \ sin \ theta) (F_y \ cos \ theta-F_x \ sin \ theta) [/ math]

[matemáticas] – (y \ cos \ theta-x \ sin \ theta) (F_x \ cos \ theta + F_y \ sin \ theta) \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] = xF_y – yF_x \\ = \ tau_ {xy} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tau_ {y’z ‘} = (y \ cos \ theta-x \ sin \ theta) F_z [/ matemáticas]

[matemáticas] -z (F_y \ cos \ theta-F_x \ sin \ theta) [/ matemáticas]

[math] = \ tau_ {yz} \ cos \ theta + \ tau_ {zx} \ sin \ theta \\ [/ math]

[matemáticas] \\ [/ matemáticas]

[math] \ tau_ {z’x ‘} = z (F_x \ cos \ theta + F_y \ sin \ theta) [/ math]

[matemáticas] – (x \ cos \ theta + y \ sin \ theta) F_z \\ [/ matemáticas]

[math] = \ tau_ {zx} \ cos \ theta- \ tau_ {yz} \ sin \ theta. [/ math]

Si observa las ecuaciones anteriores, observa las siguientes cosas:

1. Los pares se transforman de la misma manera que las coordenadas [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Esto significa que los tres productos escalares comprenden un vector.
2. El ‘componente’ [math] xy [/ math] del par es el único que no cambia. ¡Esto significa que la dirección del componente [math] xy [/ math] del par está a lo largo del eje [math] z [/ math], es decir, en una dirección perpendicular al plano [math] xy [/ math] !! !
3. El componente [math] yz [/ math] se transforma de la misma manera que la coordenada [math] x [/ math]. Esto significa que apunta a lo largo del eje [matemático] x [/ matemático], perpendicular al plano [matemático] yz [/ matemático].
4. El componente [math] zx [/ math] se transforma de la misma manera que la coordenada [math] y [/ math]. Esto significa que apunta a lo largo del eje [math] y [/ math], perpendicular al plano [math] zx [/ math].

Por lo tanto, el vector de par resultante se puede escribir como:

[matemáticas] \ tau_ {z} = xF_y-yF_x, \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tau_ {x} = yF_z-zF_y, \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tau_ {y} = zF_x-xF_z [/ matemáticas]

Los subíndices que indican las instrucciones.

En la derivación anterior, hemos asumido que los dos vectores son fuerza y ​​posición. Pero puede generalizarse a cualquiera de los dos vectores, ya que el álgebra del producto cruzado y las transformaciones del vector siguen siendo las mismas.

Ver también:

La respuesta de Nikhil Panikkar a ¿Qué significan realmente los productos de puntos y vectores cruzados?

Answer 2

Gracias por A2A. Su enfoque es básicamente correcto, [math] \ wedge [/ math] es de hecho distributivo.

Olvidó solo que [math] \ wedge [/ math] es antisimétrico, es decir, [math] e_i \ wedge e_j = – e_j \ wedge e_i [/ ​​math] (En particular, [math] e_i \ wedge e_i = -e_i \ wedge e_i = 0. [/ matemáticas])

De este modo, obtienes: [matemática] (a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3) \ wedge (b_1e_1 + b_2e_2 + b_3e_3) = a_1 b_2 e_1 \ wedge e_2 + a_2 b_1 e_2 \ wedge e_1 + \ ldots = (a_1 b_2 -a_12_1) e_2 + (a_1 b_3- a_3b_1) e_1 \ wedge e_3 + (a_2b_3 -a_3b_2) e_2 \ wedge e_3. [/ math]

Ahora use solo la identificación cíclica [matemáticas] e_1 \ cuña e_2 \ equiv e_3 [/ matemáticas], [matemáticas] e_2 \ cuña e_3 \ equiv e_1 [/ matemáticas], [matemáticas] e_3 \ cuña e_1 \ equiv e_2. [/ Matemáticas]

Las identificaciones se realizan de modo que los triples [matemática] (e_1, e_2, e_3), (e_2, e_3, e_1), (e_3, e_1, e_2) [/ matemática] son ​​diestros, es decir, todos son permutaciones pares de Los vectores base.

Answer 3

[matemáticas] e_1 \ veces e_2 = e_3 [/ matemáticas] pero [matemáticas] e_2 \ veces e_1 = -e_3. [/ matemáticas]
[matemáticas] e_2 \ veces e_3 = e_1 [/ matemáticas] pero [matemáticas] e_3 \ veces e_2 = -e_1. [/ matemáticas]
[matemáticas] e_3 \ veces e_1 = e_2 [/ matemáticas] pero [matemáticas] e_1 \ veces e_3 = -e_2. [/ matemáticas]

Ahí es donde obtienes los signos menos.

Gracias por el A2A.

Answer 4

La definición del producto cruzado es que el vector resultante es perpendicular a los dos vectores iniciales de acuerdo con la regla de la derecha, y que su magnitud es igual al área del paralelogramo definido por el tramo de los dos vectores iniciales . Dada esa definición, podemos ver que:

[math] \ mathbf {e} _ {3} = \ mathbf {e} _ {1} \ times \ mathbf {e} _ {2} [/ math]

en un sistema convencional de coordenadas cartesianas a la derecha. A partir de aquí, la fórmula general se puede obtener a través de transformaciones afines tridimensionales que rotan, reflejan y escalan los vectores unitarios anteriores.